Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar. y^{(3)}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2=e^{x}+x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{(3)}+2y''-y'-2=e^{x}+x^{2}
e pede: encontre a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A equação é linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
No lado direito há duas partes não homogêneas: a exponencial e^{x} e um polinômio x^{2}.
Há um termo constante -2 no lado esquerdo; isso pode ser levado para o lado direito (ou seja, tratar-se-á como parte do termo fonte polinomial).
Não há condições iniciais: queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Preparar a equação de forma conveniente: passo o -2 para o lado direito para trabalhar com o operador linear sobre y:
y^{(3)}+2y''-y' = e^{x}+x^{2}+2.
Agora resolvemos em duas partes: a solução geral da homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Começo pela equação homogênea associada:
y^{(3)}+2y''-y'=0.
Assumo solução da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica:
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos construir uma solução particular y_{p} para a parte não homogênea e^{x}+x^{2}+2 usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia: escolher um “chute” (ansatz) para y_{p} com forma semelhante à do termo do lado direito, multiplicado por potências de x se houver conflito com a solução homogênea.
Tratamos separadamente as duas porções:
Para e^{x}: normalmente tentamos A e^{x}. Verifico se r=1 é raiz da característica: as raízes são 0,-1\pm\sqrt{2}, portanto 1 não é raiz. Assim uso
y_{p}^{(1)} = A e^{x}.
Para o polinômio x^{2}+2 (grau 2): o chute padrão é um polinômio de grau 2, ax^{2}+bx+c. Mas como r=0 é raiz simples da característica, há uma solução homogênea constante; isso causa sobreposição com o termo constante do polinômio. Por isso multiplico o polinômio por x^{s} com s=1 (multiplicidade de r=0 na característica), obtendo como tentativa
y_{p}^{(2)} = x\,(a x^{2}+b x + c) = a x^{3}+ b x^{2} + c x.
Portanto o ansatz total é
y_{p} = A e^{x} + a x^{3} + b x^{2} + c x.
Passo 4
Calcular derivadas necessárias de y_{p} e substituir na equação y^{(3)}+2y''-y' = e^{x}+x^{2}+2.