Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{(3)}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2=e^{x}+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(3)}+2y''-y'-2=e^{x}+x^{2}
e pede: encontre a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A equação é linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • No lado direito há duas partes não homogêneas: a exponencial e^{x} e um polinômio x^{2}.
  • Há um termo constante -2 no lado esquerdo; isso pode ser levado para o lado direito (ou seja, tratar-se-á como parte do termo fonte polinomial).
  • Não há condições iniciais: queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Preparar a equação de forma conveniente: passo o -2 para o lado direito para trabalhar com o operador linear sobre y:
y^{(3)}+2y''-y' = e^{x}+x^{2}+2.
Agora resolvemos em duas partes: a solução geral da homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Começo pela equação homogênea associada:
y^{(3)}+2y''-y'=0.
Assumo solução da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{3}+2r^{2}-r=0.
Fatorando r obtemos
r\,(r^{2}+2r-1)=0.
As raízes são:
r_{1}=0,\qquad r_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{(-1+\sqrt{2})x}+C_{3}e^{(-1-\sqrt{2})x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos construir uma solução particular y_{p} para a parte não homogênea e^{x}+x^{2}+2 usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia: escolher um “chute” (ansatz) para y_{p} com forma semelhante à do termo do lado direito, multiplicado por potências de x se houver conflito com a solução homogênea.
Tratamos separadamente as duas porções:
  • Para e^{x}: normalmente tentamos A e^{x}. Verifico se r=1 é raiz da característica: as raízes são 0,-1\pm\sqrt{2}, portanto 1 não é raiz. Assim uso
y_{p}^{(1)} = A e^{x}.
  • Para o polinômio x^{2}+2 (grau 2): o chute padrão é um polinômio de grau 2, ax^{2}+bx+c. Mas como r=0 é raiz simples da característica, há uma solução homogênea constante; isso causa sobreposição com o termo constante do polinômio. Por isso multiplico o polinômio por x^{s} com s=1 (multiplicidade de r=0 na característica), obtendo como tentativa
y_{p}^{(2)} = x\,(a x^{2}+b x + c) = a x^{3}+ b x^{2} + c x.
Portanto o ansatz total é
y_{p} = A e^{x} + a x^{3} + b x^{2} + c x.

Passo 4

Calcular derivadas necessárias de y_{p} e substituir na equação y^{(3)}+2y''-y' = e^{x}+x^{2}+2.
Primeiro as derivadas do termo exponencial:
\text{Se } y_{1}=A e^{x}\Rightarrow y_{1}'=A e^{x},\quad y_{1}''=A e^{x},\quad y_{1}^{(3)}=A e^{x}.
Logo, para esse termo:
y_{1}^{(3)}+2y_{1}''-y_{1}'=(A+2A-A)e^{x}=2A e^{x}.
Esse resultado deve contribuir para o coeficiente de e^{x} no lado direito, que é 1. Portanto obteremos 2A=1.
Agora as derivadas do polinômio p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x:
p'(x)=3a x^{2}+2b x + c,
p''(x)=6a x + 2b,
p^{(3)}(x)=6a.
Somando conforme o operador:
p^{(3)}+2p''-p' = 6a + 2(6a x + 2b) - (3a x^{2}+2b x + c).
Organizando por potências de x:
p^{(3)}+2p''-p' = -3a x^{2} + (12a - 2b)x + (6a + 4b - c).
Esse polinômio deve igualar a parte polinomial no lado direito, que é x^{2}+2. Ou seja, deve ser
-3a x^{2} + (12a - 2b)x + (6a + 4b - c) = 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 2.
Comparando coeficientes de cada potência de x obtemos o sistema:
\begin{cases} -3a = 1,\\[4pt] 12a - 2b = 0,\\[4pt] 6a + 4b - c = 2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para a,b,c e resolver A:
Da primeira equação:
a = -\frac{1}{3}.
Substituindo na segunda:
12\left(-\frac{1}{3}\right)-2b=0\quad\Rightarrow\quad -4-2b=0\quad\Rightarrow\quad b=-2.
Substituindo a e b na terceira:
6\left(-\frac{1}{3}\right)+4(-2)-c=2\quad\Rightarrow\quad -2-8-c=2\quad\Rightarrow\quad -10-c=2,
c=-12.
Agora o coeficiente do exponencial:
2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_{p}=\tfrac{1}{2}e^{x}-\tfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}-12x.

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{(-1+\sqrt{2})x}+C_{3}e^{(-1-\sqrt{2})x}+\tfrac{1}{2}e^{x}-\tfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}-12x

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