Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros y^{(3)}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=2 x+3 e^{2 x}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{(3)}-5y^{\prime\prime}+6y^{\prime}=2x+3e^{2x}
usando o método de variação de parâmetros.
Informações dadas: a equação é linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo fonte f(x)=2x+3e^{2x}. A tarefa é obter a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é solução da homogênea e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{(3)}-5y^{\prime\prime}+6y^{\prime}=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}-5r^{2}+6r = r(r^{2}-5r+6)=r(r-2)(r-3)=0.
As raízes são r=0,\;r=2,\;r=3. Portanto um conjunto fundamental de soluções da homogênea é
Das duas últimas equações temos um sistema 2\times2\) em \(u_2',u_3'\). Dividindo essas equações por \(e^{2x}\) para simplificar:
\[\begin{cases} 2 u_2' + 3 e^{x} u_3' = 0,\\[4pt] 4 u_2' + 9 e^{x} u_3' = 2x e^{-2x} + 3. \end{cases}
Da primeira obtemos u_2' = -\dfrac{3}{2} e^{x} u_3'\]. Substituindo na segunda:
\[4\left(-\dfrac{3}{2} e^{x} u_3'\right) + 9 e^{x} u_3' = 2x e^{-2x} + 3.\]
O lado esquerdo simplifica para \(3 e^{x} u_3'. Assim
3 e^{x} u_3' = 2x e^{-2x} + 3,
portanto
u_3' = \dfrac{2}{3} x e^{-3x} + e^{-x}.
Agora u_2' = -\dfrac{3}{2} e^{x} u_3' = -x e^{-2x} - \dfrac{3}{2}.
Finalmente obtém-se u_1' a partir da primeira equação:
Integramos u_1',u_2',u_3'. Escolhemos as constantes de integração iguais a zero (qualquer constante produziria apenas uma combinação das soluções homogêneas já incluídas em y_h).
Como a solução geral é y=y_h+y_p e termos constantes e múltiplos de e^{2x} em y_p podem ser reabsorvidos nas constantes arbitrárias C_1 e C_2, é conveniente eliminar esses pedaços de y_p ao escrever a forma final. Subtraindo um termo constante \tfrac{19}{108} e um múltiplo de e^{2x}-\tfrac{3}{4}e^{2x} (que serão incorporados em C_1 e C_2) obtemos uma forma simplificada e equivalente da solução geral: