Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
y^{(3)}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=2 x+3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{(3)}-5y^{\prime\prime}+6y^{\prime}=2x+3e^{2x}
usando o método de variação de parâmetros.
Informações dadas: a equação é linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo fonte f(x)=2x+3e^{2x}. A tarefa é obter a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é solução da homogênea e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{(3)}-5y^{\prime\prime}+6y^{\prime}=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}-5r^{2}+6r = r(r^{2}-5r+6)=r(r-2)(r-3)=0.
As raízes são r=0,\;r=2,\;r=3. Portanto um conjunto fundamental de soluções da homogênea é
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=e^{2x},\qquad y_3(x)=e^{3x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cdot 1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros para obter uma solução particular. A ideia é procurar
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para fixar essas funções impomos as condições padrão (reduzem as derivadas de \(u_i\)): \[\begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 + u_3'y_3 = 0,\\[4pt] u_1'y_1' + u_2'y_2' + u_3'y_3' = 0,\\[4pt] u_1'y_1'' + u_2'y_2'' + u_3'y_3'' = f(x), \end{cases}
onde f(x)=2x+3e^{2x}\] é o termo do lado direito da equação original. Essas três equações determinam \(u_1',u_2',u_3'.]

Passo 4

Calculemos as derivadas das funções fundamentais:
y_1=1,\; y_1'=0,\; y_1''=0,
y_2=e^{2x},\; y_2'=2e^{2x},\; y_2''=4e^{2x},
y_3=e^{3x},\; y_3'=3e^{3x},\; y_3''=9e^{3x}.
Substituindo nas três equações do passo anterior obtemos o sistema para u_i':
\begin{cases} u_1' \cdot 1 + u_2' e^{2x} + u_3' e^{3x} = 0,\\[4pt] u_1' \cdot 0 + u_2' \cdot 2e^{2x} + u_3' \cdot 3e^{3x} = 0,\\[4pt] u_1' \cdot 0 + u_2' \cdot 4e^{2x} + u_3' \cdot 9e^{3x} = 2x+3e^{2x}. \end{cases}]

Passo 5

Das duas últimas equações temos um sistema 2\times2\) em \(u_2',u_3'\). Dividindo essas equações por \(e^{2x}\) para simplificar: \[\begin{cases} 2 u_2' + 3 e^{x} u_3' = 0,\\[4pt] 4 u_2' + 9 e^{x} u_3' = 2x e^{-2x} + 3. \end{cases}
Da primeira obtemos u_2' = -\dfrac{3}{2} e^{x} u_3'\]. Substituindo na segunda: \[4\left(-\dfrac{3}{2} e^{x} u_3'\right) + 9 e^{x} u_3' = 2x e^{-2x} + 3.\] O lado esquerdo simplifica para \(3 e^{x} u_3'. Assim
3 e^{x} u_3' = 2x e^{-2x} + 3,
portanto
u_3' = \dfrac{2}{3} x e^{-3x} + e^{-x}.
Agora u_2' = -\dfrac{3}{2} e^{x} u_3' = -x e^{-2x} - \dfrac{3}{2}.
Finalmente obtém-se u_1' a partir da primeira equação:
u_1' = -\big(u_2' e^{2x} + u_3' e^{3x}\big).
Substituindo u_2' e u_3':
u_2' e^{2x} = -x - \dfrac{3}{2}e^{2x},\qquad u_3' e^{3x} = \dfrac{2}{3}x + e^{2x}.
Somando e trocando o sinal,
u_1' = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} e^{2x}.]

Passo 6

Integramos u_1',u_2',u_3'. Escolhemos as constantes de integração iguais a zero (qualquer constante produziria apenas uma combinação das soluções homogêneas já incluídas em y_h).
Integração de u_1':
u_1(x)=\int\!\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}e^{2x}\right)dx =\frac{1}{6}x^{2}+\frac{1}{4}e^{2x}.
Integração de u_2':
u_2(x)=\int\!\left(-x e^{-2x}-\frac{3}{2}\right)dx.
Calcule \int x e^{-2x}dx por partes: tomamos a=x,\;db=e^{-2x}dx\Rightarrow b=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Assim
\int x e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}= -\Big(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\Big)e^{-2x}.
Com o sinal negativo em u_2' e subtraindo \int \tfrac{3}{2}dx, obtemos
u_2(x)=\Big(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\Big)e^{-2x}-\frac{3}{2}x.
Integração de u_3':
u_3(x)=\int\!\left(\frac{2}{3}x e^{-3x}+e^{-x}\right)dx.
Para \int x e^{-3x}dx por partes: a=x,\;db=e^{-3x}dx\Rightarrow b=-\tfrac{1}{3}e^{-3x}. Assim
\int x e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}x e^{-3x}-\frac{1}{9}e^{-3x}= -\Big(\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}\Big)e^{-3x}.
Multiplicando por \tfrac{2}{3} e somando \int e^{-x}dx=-e^{-x} resulta
u_3(x) = -\Big(\frac{2}{9}x+\frac{2}{27}\Big)e^{-3x} - e^{-x}.

Passo 7

Agora montamos y_p=y_p(x)=u_1y_1+u_2y_2+u_3y_3. Usando y_1=1,\;y_2=e^{2x},\;y_3=e^{3x}:
\begin{aligned} y_p &= u_1 + u_2 e^{2x} + u_3 e^{3x}\\[4pt] &= \Big(\frac{1}{6}x^{2}+\frac{1}{4}e^{2x}\Big) + \Big(\big(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\big)e^{-2x}-\tfrac{3}{2}x\Big)e^{2x}\\[4pt] &\qquad + \Big(-\big(\tfrac{2}{9}x+\tfrac{2}{27}\big)e^{-3x}-e^{-x}\Big)e^{3x}. \end{aligned}
Multiplicando e simplificando termos:
y_p = \frac{1}{6}x^{2} + \frac{1}{2}x - \frac{2}{9}x + \frac{1}{4}-\frac{2}{27} + \frac{1}{4}e^{2x} -\frac{3}{2}x e^{2x} - e^{2x}.
Agrupando os termos polinomiais e exponenciais obtemos
y_p = \frac{1}{6}x^{2} + \frac{5}{18}x + \frac{19}{108} -\Big(\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}\Big)e^{2x}.]

Passo 8

Como a solução geral é y=y_h+y_p e termos constantes e múltiplos de e^{2x} em y_p podem ser reabsorvidos nas constantes arbitrárias C_1 e C_2, é conveniente eliminar esses pedaços de y_p ao escrever a forma final. Subtraindo um termo constante \tfrac{19}{108} e um múltiplo de e^{2x} -\tfrac{3}{4}e^{2x} (que serão incorporados em C_1 e C_2) obtemos uma forma simplificada e equivalente da solução geral:
y(x)=C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x} + \frac{1}{6}x^{2} + \frac{5}{18}x - \frac{3}{2}x e^{2x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x} + \frac{1}{6}x^{2} + \frac{5}{18}x - \frac{3}{2}x e^{2x}

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