Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
y^{\prime \prime}+4 y=3 e^{4 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y''+4y=3e^{4x},
e pede a solução geral da equação (ou seja, todas as soluções). As informações relevantes são:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é 3e^{4x}.
  • A tarefa é encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''+4y=0.
Para isso resolvemos a equação característica associada:
r^{2}+4=0.
As raízes são
r=\pm 2i.
Quando as raízes são imaginárias \pm i\beta a solução geral é combinação de cosseno e seno. Logo uma base de soluções fundamentais é
y_{1}(x)=\cos(2x),\qquad y_{2}(x)=\sin(2x).
A solução geral homogênea pode ser escrita como
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora usamos o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p}(x)\). A ideia é procurar \[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar os cálculos (essa escolha elimina termos com u_1' e u_2' na derivada de primeira ordem quando substituímos na equação). A partir disso obtém-se o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[6pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x), \end{cases}
onde r(x)\] é o lado direito da equação original (aqui \(r(x)=3e^{4x}). Esse sistema resolve-se usando o Wronskiano.]

Passo 4

Calculamos o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Como y_{1}=\cos(2x) e y_{2}=\sin(2x), temos
y_{1}'(x)=-2\sin(2x),\qquad y_{2}'(x)=2\cos(2x).
Logo
W(x)=\cos(2x)\cdot 2\cos(2x)-(-2\sin(2x))\cdot\sin(2x)=2\big(\cos^{2}(2x)+\sin^{2}(2x)\big)=2.
O Wronskiano é constante igual a 2, o que facilita bastante.

Passo 5

As fórmulas para variação de parâmetros em segunda ordem (quando a equação está na forma y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) e escolhidas as y_1,y_2 como acima) são
u_{1}'(x)=-\dfrac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\dfrac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Aqui r(x)=3e^{4x} e W(x)=2. Portanto
u_{1}'(x)=-\dfrac{3e^{4x}\sin(2x)}{2},\qquad u_{2}'(x)=\dfrac{3e^{4x}\cos(2x)}{2}.

Passo 6

Integramos u_{1}' e u_{2}'. Precisamos calcular as primitivas de e^{4x}\sin(2x) e e^{4x}\cos(2x). Usamos as fórmulas padrão
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{e^{ax}\big(a\sin(bx)-b\cos(bx)\big)}{a^{2}+b^{2}}+C,
\int e^{ax}\cos(bx)\,dx=\frac{e^{ax}\big(a\cos(bx)+b\sin(bx)\big)}{a^{2}+b^{2}}+C.
Aqui a=4 e b=2, então a^{2}+b^{2}=16+4=20. Assim
\int e^{4x}\sin(2x)\,dx=\frac{e^{4x}\big(4\sin(2x)-2\cos(2x)\big)}{20}=\frac{e^{4x}\big(2\sin(2x)-\cos(2x)\big)}{10},
\int e^{4x}\cos(2x)\,dx=\frac{e^{4x}\big(4\cos(2x)+2\sin(2x)\big)}{20}=\frac{e^{4x}\big(2\cos(2x)+\sin(2x)\big)}{10}.

Passo 7

Agora obtém-se u_{1} e u_{2} multiplicando pelas constantes:
u_{1}(x)=-\frac{3}{2}\int e^{4x}\sin(2x)\,dx =-\frac{3}{2}\cdot\frac{e^{4x}\big(2\sin(2x)-\cos(2x)\big)}{10} =-\frac{3e^{4x}\big(2\sin(2x)-\cos(2x)\big)}{20},
u_{2}(x)=\frac{3}{2}\int e^{4x}\cos(2x)\,dx =\frac{3}{2}\cdot\frac{e^{4x}\big(2\cos(2x)+\sin(2x)\big)}{10} =\frac{3e^{4x}\big(2\cos(2x)+\sin(2x)\big)}{20}.
Constantes de integração poderiam ser incorporadas nas constantes da solução homogênea, por isso não é necessário adicioná-las aqui.

Passo 8

Construímos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
y_{p}(x)=\left(-\frac{3e^{4x}\big(2\sin(2x)-\cos(2x)\big)}{20}\right)\cos(2x) +\left(\frac{3e^{4x}\big(2\cos(2x)+\sin(2x)\big)}{20}\right)\sin(2x).
Fatorando \dfrac{3e^{4x}}{20} e expandindo os termos dentro dos parênteses:
y_{p}(x)=\frac{3e^{4x}}{20}\Big(-(2\sin2x-\cos2x)\cos2x+(2\cos2x+\sin2x)\sin2x\Big).
Calculando o que está dentro da chave:
-(2\sin2x-\cos2x)\cos2x+(2\cos2x+\sin2x)\sin2x =-2\sin2x\cos2x+\cos^{2}2x+2\cos2x\sin2x+\sin^{2}2x =\cos^{2}2x+\sin^{2}2x=1.
Portanto
y_{p}(x)=\frac{3e^{4x}}{20}.

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea (Passo 2) com a solução particular (Passo 8). As constantes C_{1} e C_{2} permanecem livres.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{3}{20}e^{4x}

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