Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral da equação (ou seja, todas as soluções). As informações relevantes são:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - A tarefa é encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso resolvemos a equação característica associada:
As raízes são
Quando as raízes são imaginárias
a solução geral é combinação de cosseno e seno. Logo uma base de soluções fundamentais é
A solução geral homogênea pode ser escrita como
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora usamos o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
onde
e
são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
para simplificar os cálculos (essa escolha elimina termos com
e
na derivada de primeira ordem quando substituímos na equação). A partir disso obtém-se o sistema linear para
e
:
onde
). Esse sistema resolve-se usando o Wronskiano.]
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
:
Como
e
, temos
Logo
O Wronskiano é constante igual a
, o que facilita bastante.
Passo 5
As fórmulas para variação de parâmetros em segunda ordem (quando a equação está na forma
e escolhidas as
como acima) são
Aqui
e
. Portanto
Passo 6
Integramos
e
. Precisamos calcular as primitivas de
e
. Usamos as fórmulas padrão
Aqui
e
, então
. Assim
Passo 7
Agora obtém-se
e
multiplicando pelas constantes:
Constantes de integração poderiam ser incorporadas nas constantes da solução homogênea, por isso não é necessário adicioná-las aqui.
Passo 8
Construímos a solução particular
. Substituindo:
Fatorando
e expandindo os termos dentro dos parênteses:
Calculando o que está dentro da chave:
Portanto
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea (Passo 2) com a solução particular (Passo 8). As constantes
e
permanecem livres.