Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes:
- A equação é linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - O objetivo é encontrar a solução geral
, onde é a solução geral da equação homogênea associada e é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada:
Procuramos soluções do tipo
. A equação característica é
Resolvendo:
Logo duas soluções independentes são
e
. A solução geral da homogênea (complementar) é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicar a variação de parâmetros (fórmula usada):
Para uma equação de forma
Isto leva às fórmulas (onde
):
No nosso caso
,
e
. Usaremos
,
.
Calcular o wronskiano:
Passo 4
Escrever
e
usando as fórmulas:
Passo 5
Integrar
para obter
. Escrevemos
Separe em integrais:
Calcule cada integral:
-
-
- Para
usamos a fórmula padrão . Aqui , , então
Agora volte a
:
Simplifique:
Observação: constantes de integração aqui podem ser tomadas como zero porque qualquer constante multiplicada por
entra na solução homogênea.
Passo 6
Integrar
para obter
. Escrevemos
Separe:
Calcule cada integral:
-
-
- Para
use a fórmula com :
Agora volte a
:
Simplifique:
Passo 7
Construir a solução particular
. Lembre que
,
. Calcule termo a termo.
Primeiro
:
Depois
:
Some os dois:
Simplifique cada grupo:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular
para conferir que obtém
.
- Para
: contribuição em é . - Para
: contribuição é . - Para
: contribuição é .
Somando:
, que coincide com o lado direito. Logo
está correta.
Passo 9
A solução geral da equação é a soma da complementar e da particular:
com
constantes arbitrárias.