Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
y^{\prime \prime}-y=3 \operatorname{sen}(x)-e^{2 x}+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y=3\operatorname{sen}(x)-e^{2x}+1
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes:
  • A equação é linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é r(x)=3\operatorname{sen}(x)-e^{2x}+1.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x)=y_c(x)+y_p(x), onde y_c é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
y''-y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. A equação característica é
r^2-1=0.
Resolvendo:
r=\pm1.
Logo duas soluções independentes são y_1(x)=e^{x} e y_2(x)=e^{-x}. A solução geral da homogênea (complementar) é
y_c(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicar a variação de parâmetros (fórmula usada):
Para uma equação de forma y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\) com duas soluções fundamentais \(y_1,y_2\) da homogênea, a variação de parâmetros procura \(y_p=u_1(x)y_1+u_2(x)y_2\) com \(u_1',u_2'\) satisfazendo o sistema \[\begin{cases} u_1' y_1+u_2' y_2=0,\\[4pt] u_1' y_1'+u_2' y_2'=r(x). \end{cases}
Isto leva às fórmulas (onde W\] é o wronskiano \(W=y_1y_2'-y_1'y_2):
u_1'=-\dfrac{r(x)\,y_2}{W},\qquad u_2'=\dfrac{r(x)\,y_1}{W}.
No nosso caso p(x)=0, q(x)=-1 e r(x)=3\operatorname{sen}(x)-e^{2x}+1. Usaremos y_1=e^{x}, y_2=e^{-x}.
Calcular o wronskiano:
W=y_1 y_2'-y_1' y_2 = e^{x}(-e^{-x}) - e^{x} e^{-x} = -1-1=-2.]

Passo 4

Escrever u_1' e u_2' usando as fórmulas:
u_1'=-\dfrac{r(x)\,y_2}{W}=-\dfrac{(3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1)\,e^{-x}}{-2}=\dfrac{(3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1)\,e^{-x}}{2},
u_2'=\dfrac{r(x)\,y_1}{W}=\dfrac{(3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1)\,e^{x}}{-2}=-\dfrac{(3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1)\,e^{x}}{2}.

Passo 5

Integrar u_1' para obter u_1. Escrevemos
u_1=\frac{1}{2}\int e^{-x}\bigl(3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1\bigr)\,dx.
Separe em integrais:
u_1=\frac{1}{2}\Bigl(3\int e^{-x}\operatorname{sen} x\,dx - \int e^{-x}e^{2x}\,dx + \int e^{-x}\,dx\Bigr).
Calcule cada integral:
  • \displaystyle \int e^{-x}e^{2x}\,dx=\int e^{x}\,dx=e^{x}.
  • \displaystyle \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}.
  • Para \displaystyle I=\int e^{-x}\operatorname{sen} x\,dx usamos a fórmula padrão \displaystyle \int e^{\alpha x}\operatorname{sen}(\beta x)\,dx = \frac{e^{\alpha x}(\alpha\operatorname{sen}\beta x-\beta\cos\beta x)}{\alpha^{2}+\beta^{2}}+C. Aqui \alpha=-1, \beta=1, então
I=\frac{e^{-x}\bigl((-1)\operatorname{sen} x - 1\cos x\bigr)}{(-1)^2+1^2}=\frac{e^{-x}(-\operatorname{sen} x -\cos x)}{2}.
Agora volte a u_1:
u_1=\frac{1}{2}\Bigl(3\cdot\frac{e^{-x}(-\operatorname{sen} x -\cos x)}{2} - e^{x} - e^{-x}\Bigr).
Simplifique:
u_1=-\frac{e^{x}}{2}-e^{-x}\Bigl(\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x+\cos x)+\frac{1}{2}\Bigr).
Observação: constantes de integração aqui podem ser tomadas como zero porque qualquer constante multiplicada por y_1,y_2 entra na solução homogênea.

Passo 6

Integrar u_2' para obter u_2. Escrevemos
u_2=-\frac{1}{2}\int e^{x}\bigl(3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1\bigr)\,dx.
Separe:
u_2=-\frac{1}{2}\Bigl(3\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx - \int e^{x}e^{2x}\,dx + \int e^{x}\,dx\Bigr).
Calcule cada integral:
  • \displaystyle \int e^{x}e^{2x}\,dx=\int e^{3x}\,dx=\frac{e^{3x}}{3}.
  • \displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}.
  • Para \displaystyle J=\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx use a fórmula com \alpha=1,\beta=1:
J=\frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2}.
Agora volte a u_2:
u_2=-\frac{1}{2}\Bigl(3\cdot\frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2} - \frac{e^{3x}}{3} + e^{x}\Bigr).
Simplifique:
u_2=-\frac{3}{4}e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)+\frac{e^{3x}}{6}-\frac{e^{x}}{2}.

Passo 7

Construir a solução particular y_p=u_1 y_1 + u_2 y_2. Lembre que y_1=e^{x}, y_2=e^{-x}. Calcule termo a termo.
Primeiro u_1 y_1:
u_1 e^{x}=\Bigl(-\frac{e^{x}}{2}-e^{-x}\bigl(\tfrac{3}{4}(\operatorname{sen} x+\cos x)+\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr)e^{x} =-\frac{e^{2x}}{2}-\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x+\cos x)-\frac{1}{2}.
Depois u_2 y_2:
u_2 e^{-x}=\Bigl(-\frac{3}{4}e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)+\frac{e^{3x}}{6}-\frac{e^{x}}{2}\Bigr)e^{-x} =-\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x - \cos x)+\frac{e^{2x}}{6}-\frac{1}{2}.
Some os dois:
y_p = u_1 e^{x}+u_2 e^{-x} = \Bigl(-\frac{e^{2x}}{2}+\frac{e^{2x}}{6}\Bigr) +\Bigl(-\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x+\cos x)-\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x-\cos x)\Bigr) +\Bigl(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\Bigr).
Simplifique cada grupo:
-\frac{e^{2x}}{2}+\frac{e^{2x}}{6}=-\frac{1}{3}e^{2x},
-\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x+\cos x)-\frac{3}{4}(\operatorname{sen} x-\cos x)=-\frac{3}{2}\operatorname{sen} x,
-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1.
Portanto
y_p(x)=-\frac{1}{3}e^{2x}-\frac{3}{2}\operatorname{sen} x -1.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular \,y_p''-y_p para conferir que obtém 3\operatorname{sen} x - e^{2x}+1.
  • Para -\tfrac{1}{3}e^{2x}: contribuição em y''-y é -e^{2x}.
  • Para -\tfrac{3}{2}\operatorname{sen} x: contribuição é 3\operatorname{sen} x.
  • Para -1: contribuição é +1.
Somando: 3\operatorname{sen} x - e^{2x} +1, que coincide com o lado direito. Logo y_p está correta.

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da complementar e da particular:
y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}-\frac{1}{3}e^{2x}-\frac{3}{2}\operatorname{sen} x -1,
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}-\frac{1}{3}e^{2x}-\frac{3}{2}\operatorname{sen} x -1

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