Exercício 3: Dados os pontos A, B e C da questão anterior:
(a) Obtenha uma equação geral do plano \pi definido pelos três pontos.
(b) Determine um versor \hat{n} normal a \pi.
(c) Escreva a equação geral de um plano \eta paralelo a \pi que passe pelo ponto D=(4,1,1).
(d) Obten ha a distância d_{\pi \eta} entre os planos \pi e \eta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre o plano \pi determinado por três pontos A,B,C (dados na questão anterior):
(a) uma equação geral do plano \pi;
(b) um versor \hat{n} normal a \pi;
(c) a equação geral de um plano \eta paralelo a \pi que passe por D=(4,1,1);
(d) a distância d_{\pi\eta} entre os planos \pi e \eta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Os pontos A, B e C existem e determinam \pi, mas as coordenadas específicas de A, B e C não foram enviadas aqui (elas estavam na questão anterior). Sem as coordenadas numéricas não é possível calcular valores numéricos finais, portanto apresentarei a resolução em forma generalizada (símbolica) usando as coordenadas \,A=(x_A,y_A,z_A),\,B=(x_B,y_B,z_B),\,C=(x_C,y_C,z_C).
O ponto D foi dado: D=(4,1,1).
Observação: não irei inventar valores para A,B,C. Vou mostrar passo a passo como fazer cada item em termos dos pontos genéricos A,B,C; com isso, na prova basta substituir as coordenadas reais e seguir os mesmos passos.
Passo 2
Construir vetores diretores do plano a partir de A,B,C. Esses vetores servem para obter o vetor normal via produto vetorial.
Ensino prático: na prova, calcule as diferenças coordenada a coordenada para obter \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Esses dois vetores pertencem ao plano \pi.
Passo 3
Obter o vetor normal \vec{n} do plano usando produto vetorial.
Teoria rápida do produto vetorial:
O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 dá um vetor perpendicular aos dois. Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Aviso importante: se \vec{n}=(0,0,0) então A,B,C são colineares e não determinam um plano único; nesse caso a questão estaria mal formulada. Na prova verifique que \vec{n}\neq(0,0,0).
Passo 4
(a) Escrever a equação geral do plano \pi usando o vetor normal.
Fórmula do plano com normal conhecido:
Se \vec{n}=(a,b,c) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então a equação cartesiana do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
que pode ser expandida para o formato geral
a x + b y + c z + d = 0,
onde d = -(a x_0 + b y_0 + c z_0).
Aplicando ao nosso caso: tomar a=n_1, b=n_2, c=n_3 e P_0=A. Assim a equação geral de \pi é
n_1(x-x_A)+n_2(y-y_A)+n_3(z-z_A)=0,
ou, expandindo,
n_1 x + n_2 y + n_3 z + d = 0,
com
d = -\big(n_1 x_A + n_2 y_A + n_3 z_A\big).
Dica prática: na prova calcule n_1,n_2,n_3 numericamente e em seguida calcule d usando as coordenadas de A (ou B ou C, qualquer um serve).
Passo 5
(b) Determinar um versor \hat{n} normal a \pi.
Definição de versor:
Um versor é um vetor unitário (norma 1). A partir do normal \vec{n} basta dividir pela sua norma:
\hat{n} = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}.
Aqui
\|\vec{n}\| = \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}.
Observação prática: há dois versores normais possíveis (\hat{n} e -\hat{n}), escolha qualquer um conforme conveniência.
Passo 6
(c) Escrever a equação geral do plano \eta paralelo a \pi que passe por D=(4,1,1).
Conceito: planos paralelos têm os mesmos coeficientes a,b,c na equação geral. Então, se \pi é n_1 x + n_2 y + n_3 z + d=0, o plano paralelo \eta terá a forma
n_1 x + n_2 y + n_3 z + d' = 0,
com d' determinado exigindo que D satisfaça a equação. Assim
d' = -\big(n_1 x_D + n_2 y_D + n_3 z_D\big).
Como D=(4,1,1), basta substituir x_D=4,\;y_D=1,\;z_D=1.
Na prova: calcule d' com os n_i numéricos obtidos antes; isso dá a equação de \eta.
Passo 7
(d) Calcular a distância d_{\pi\eta} entre os planos \pi e \eta.
Fórmula direta para planos paralelos:
Se dois planos paralelos têm equações
a x + b y + c z + d = 0 \quad\text{e}\quad a x + b y + c z + d' = 0,
então a distância entre eles é
d_{\pi\eta} = \frac{|d'-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Derivação curta (útil na prova): a distância entre planos paralelos é igual à distância de qualquer ponto de um plano ao outro plano; a distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) à equação a x+b y+c z + d = 0 é
\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Tomando P em \eta e aplicando ao plano \pi obtém-se a fórmula acima, que simplifica para |d'-d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Na prática: calcule d e d' como nos passos anteriores e aplique essa fórmula.
Passo 8
Exemplo rápido (para fixar o procedimento). Suponha, só como exemplo, que A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0). Então
A equação do plano é 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z + d=0. Usando A=(0,0,0) temos d=0 e o plano é z=0. Um versor normal é \hat{n}=(0,0,1). Para D=(4,1,1) o plano paralelo \eta tem equação z-1=0. A distância entre eles é |0-(-1)|/\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.
Isto mostra como, numericamente, as fórmulas do procedimento anteriores funcionam: substitua seus A,B,C reais na prova e faça exatamente isso.
Resposta
(a) n_1 x + n_2 y + n_3 z + d = 0, com
n_1=(y_B-y_A)(z_C-z_A)-(z_B-z_A)(y_C-y_A),
n_2=(z_B-z_A)(x_C-x_A)-(x_B-x_A)(z_C-z_A),
n_3=(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A),
d = -\big(n_1 x_A + n_2 y_A + n_3 z_A\big).
(b) \displaystyle \hat{n}=\frac{1}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\,(n_1,n_2,n_3) (ou o seu oposto).
(c) \displaystyle n_1 x + n_2 y + n_3 z + d' = 0, com \displaystyle d' = -\big(n_1\cdot 4 + n_2\cdot 1 + n_3\cdot 1\big).