Encontre a solução geral da equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0

Passo 1

Beleza, estamos tentando resolver a equação diferencial $ y’’ - 2y’ + 5y = 0 $. Isso é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação do tipo $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 5 $, então a equação fica:
y'' + a y' + b y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Para isso, usamos o discriminante $ \Delta $, que é calculado por $ \Delta = b^2 - 4ac $.
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = 5 $. Então:
r

Passo 4

Como o discriminante $ \Delta = -16 $ é negativo, sabemos que as raízes serão números complexos. As raízes são dadas por:
De

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
alpha pm beta i
Aqui, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $. Substituindo esses valores, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = e^x ( C1 cos(2x) + C2 sin(2x) )
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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