Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, estamos tentando resolver a equação diferencial $ y’’ - 2y’ + 5y = 0 $. Isso é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação do tipo $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 5 $, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Para isso, usamos o discriminante $ \Delta $, que é calculado por $ \Delta = b^2 - 4ac $.
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = 5 $. Então:
Passo 4
Como o discriminante $ \Delta = -16 $ é negativo, sabemos que as raízes serão números complexos. As raízes são dadas por:
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $. Substituindo esses valores, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.