Encontre a solução geral da equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x1+x^2

Passo 1

O problema é achar a solução geral da EDO não homogênea de 2º ordem
y'' - 2y' + y = e^x1 + x^2,
que é uma EDO linear com coeficientes constantes. Vamos usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular e depois somá-la à solução geral da parte homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 2r + 1 = (r - 1)^2 = 0,
com raiz dupla r=1. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Chamando y1 = e^x e y2 = x e^x, vamos aplicar variação de parâmetros. O Wronskiano é
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^x,(e^x + x e^x) - x e^x,e^x = e^2x

Passo 4

Para variação de parâmetros definimos funções u1(x) e u2(x) tais que
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2
As fórmulas são
u1' = -y2,f(x)W, u2' = y1,f(x)W,
onde f(x)=e^x/(1+x^2).

Passo 5

Calculamos
u1' = -x e^x,l(e^x/(1+x^2)r)e^2x = -x1+x^2,
u2' = e^x,l(e^x/(1+x^2)r)e^2x = 11+x^2
Agora integramos:

Passo 6

u1(x) = -integral x1+x^2,dx = -tfrac12 lnl(1+x^2r),
u2(x) = integral 11+x^2,dx = arctan(x)

Passo 7

O particular fica
yp = u1 y1 + u2 y2 = -tfrac12 e^x lnl(1+x^2r) + x e^x arctan(x)
Somando à solução homogênea temos a solução geral.

Passo 8

A solução geral da equação é
y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + e^xl(xarctan(x) - tfrac12ln(1+x^2)r)

Resposta

y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + e^{x}\Bigl(x \arctan(x) - \tfrac12 \ln(1 + x^{2})\Bigr)

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