Considere a equação diferencial
, onde
é uma constante,
.
i) Forneça a solução geral
da equação.
ii) Qual o limite de
quando
tende para o infinito, para os diversos valores de
no intervalo citado acima?
i) Forneça a solução geral
ii) Qual o limite de
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a EDO
, onde
é constante em
. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
A equação característica associada é
. O discriminante é
. Como
, distinguimos três casos:
se
,
se
e
se
.
Passo 3
Para
(raízes reais e distintas): as raízes são
. A solução geral é
com constantes
.
Passo 4
Para
(raiz dupla): temos
com multiplicidade 2. A solução é
Passo 5
Para
(raízes complexas): escrevemos
, onde
. A solução é
Passo 6
Analisando o limite quando
: em todos os casos a parte real das raízes é
, portanto as soluções decaem e
Resposta
Solução geral:
Para c>2:
Para c=2:
Para 0<c<2:
Limite: