Considere a equação diferencial y^prime prime+c y^prime+y=0, onde c é uma constante, 0.
i) Forneça a solução geral y(x) da equação.
ii) Qual o limite de y(x) quando x tende para o infinito, para os diversos valores de c no intervalo citado acima?

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a EDO y'' + c,y' + y = 0, onde c é constante em 0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

A equação característica associada é r^2 + c,r + 1 = 0. O discriminante é De. Como 0, distinguimos três casos: De0 se c>2, De se c=2 e De se 0.

Passo 3

Para c>2 (raízes reais e distintas): as raízes são r1,2=-c pm raizc^2-42. A solução geral é
y(x)=C1 e^r1 x+C2 e^r2 x,
com constantes C1,C2.

Passo 4

Para c=2 (raiz dupla): temos r=-1 com multiplicidade 2. A solução é
y(x)=(C1 + C2 x)e^-x

Passo 5

Para 0 (raízes complexas): escrevemos r = -tfracc2 pm iomega, onde omega=tfracraiz4-c^22. A solução é
y(x)=e^-c2xl(C1cos(omega x)+C2sin(omega x)r)

Passo 6

Analisando o limite quando xtoinfty: em todos os casos a parte real das raízes é -c/2<0, portanto as soluções decaem e
limxtoinftyy(x)=0

Resposta

Solução geral:
Para c>2:
y(x)=C1 e^r1 x+C2 e^r2 x, r1,2=-cpmraizc^2-42
Para c=2:
y(x)=(C1+C2 x)e^-x
Para 0<c<2:
y(x)=e^-c2xl(C1cos(omega x)+C2sin(omega x)r),omega=raiz4-c^22
Limite:
limxtoinftyy(x)=0para todo 0

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