Utilize o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral da equação
.
Passo 1
A equação dada é uma equação de Cauchy–Euler não homogênea:
com domínio
. Vamos usar o método da variação dos parâmetros. Para isso, primeiro precisamos da solução geral da homogênea e depois aplicar variação de parâmetros.
Passo 2
Procuramos a solução da homogênea
por tentativa
. Substituindo, temos:
que simplifica para
Como há raiz dupla
, a solução homogênea é
Passo 3
Dividindo a equação original por
obtemos a forma padrão:
Tomamos
Suas derivadas são
O Wronskiano é
Passo 4
Pelas fórmulas de variação dos parâmetros, definimos
onde
. Logo:
Integrando,
Passo 5
A solução particular é
$$y_{p}=A,u_{1}+B,u_{2}=(-x\ln x + x)x^{2}+x\cdot x^{2}\ln x=-x^{3}\ln x + x{3}+x{3}\ln x=x^{3}.
$$