Utilize o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral da equação x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y= x^3, x>0.

Passo 1

A equação dada é uma equação de Cauchy–Euler não homogênea: x^2y''-3xy'+4y=x^3, com domínio x>0. Vamos usar o método da variação dos parâmetros. Para isso, primeiro precisamos da solução geral da homogênea e depois aplicar variação de parâmetros.

Passo 2

Procuramos a solução da homogênea x^2y''-3xy'+4y=0 por tentativa y=x^m. Substituindo, temos:
x^2cdot m(m-1)x^m-2-3xcdot m x^m-1+4x^m=0
que simplifica para
m(m-1)-3m+4=0Longrightarrow m^2-4m+4=0Longrightarrow(m-2)^2=0
Como há raiz dupla m=2, a solução homogênea é
yh=C1x^2+C2x^2ln x

Passo 3

Dividindo a equação original por x^2 obtemos a forma padrão:
y''-3xy'+4x^2y=x
Tomamos
u1=x^2, u2=x^2ln x
Suas derivadas são
u1'=2x, u2'=2xln x + x
O Wronskiano é
W=u1u2'-u1'u2=x^2(2xln x + x)-2xcdot x^2ln x=x^3

Passo 4

Pelas fórmulas de variação dos parâmetros, definimos
A'=-u2,r(x)W, B'=u1,r(x)W,
onde r(x)=x. Logo:
A'=-x^2ln xcdot xx^3=-ln x,
B'=x^2cdot xx^3=1
Integrando,
A=-integralln x,dx=-(xln x - x)=-xln x + x,
B=integral1,dx=x

Passo 5

A solução particular é
$$y_{p}=A,u_{1}+B,u_{2}=(-x\ln x + x)x^{2}+x\cdot x^{2}\ln x=-x^{3}\ln x + x{3}+x{3}\ln x=x^{3}.
yp=A,u1+B,u2=(-xln x + x)x^2+xcdot x^2ln x=-x^3ln x + x^3+x^3ln x=x^3 çãçããêéy(x)=y_{h}+y_{p}=C_{1}x{2}+C_{2}x{2}\ln x+x^{3}.
$$

Resposta

y(x)=C1x^2+C2x^2ln x+x^3

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