Encontre a solução geral da equação y^prime prime-a y^prime+y=t e^t + b.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea
y''-a,y'+y = t e^t + b,
com constantes a e b. Vamos usar o método de coeficientes a determinar: primeiro a solução da parte homogênea e depois uma particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y''-a,y'+y=0
A equação característica é
r^2 - a r +1=0,
cuja solução é
$$r_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 -4}}{2}.
r1,2 = a pm raiza^2 -42 y_h = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}.
$$

Passo 3

Para a parte não homogênea observamos que há o termo e^t com polinômio em t. Como r=1 pode ser raiz da característica (isto é, se a=2), há ressonância em a=2. Logo distinguimos dois casos.

Passo 4

Caso 1: aneq2. Não há ressonância, então para o termo t e^t usamos o ansatz
yp1 = (A t + B)e^t
Calculando
yp1' = (A t + A + B)e^t,
yp1'' = (A t +2A + B)e^t,
e substituindo em y''-a y'+y = t e^t obtemos o sistema para coeficientes:
coeficiente de t e^t: A(2-a)=1,
coeficiente de e^t: (2-a)(A+B)=0
Para aneq2 segue
$$A = \frac1{2-a},
\quad B=-A = -\frac1{2-a}. A = 12-a, B=-A = -12-ay_{p1} = \frac{t-1}{2-a}e^t.$$

Passo 5

Caso 2: a=2. A raiz r=1 é dupla e há ressonância de ordem 2. Para t e^t tomamos
$$y_{p1} = (A t^3 + B t2)et.
yp1 = (A t^3 + B t^2)e^t óáóãéA = \frac16,\quad B=0,
A = 16, B=0, y_{p1} = \frac{t3}{6}et.
$$

Passo 6

Em ambos os casos, o termo constante b pede um ansatz constante
$$y_{p2}=C.
yp2=C áC = b.
$$

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares. Resumindo:
Caso aneq2:
y = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + t-12-ae^t + b,
com r1,2=(apmraiza^2-4)/2.
Caso a=2:
y = (C1 + C2 t)e^t + t^36e^t + b

Resposta

Para a≠2:
&yh = C1 e^a+raiza^2-42,t + C2 e^a-raiza^2-42,t, yp1 &= t-12-ae^t, yp2=b, y &= C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + t-12-ae^t + b
Para a=2:
yh &= (C1 + C2 t)e^t, yp &= t^36e^t + b, y &= (C1 + C2 t)e^t + t^36e^t + b

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