Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea
com constantes
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
A equação característica é
cuja solução é
$$r_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 -4}}{2}.
$$
Passo 3
Para a parte não homogênea observamos que há o termo
com polinômio em
. Como
pode ser raiz da característica (isto é, se
), há ressonância em
. Logo distinguimos dois casos.
Passo 4
Caso 1:
. Não há ressonância, então para o termo
usamos o ansatz
Calculando
e substituindo em
coeficiente de
coeficiente de
Para
$$A = \frac1{2-a},
\quad B=-A = -\frac1{2-a}.
y_{p1} = \frac{t-1}{2-a}e^t.$$
Passo 5
Caso 2:
. A raiz
é dupla e há ressonância de ordem 2. Para
tomamos
$$y_{p1} = (A t^3 + B t2)et.
$$
Passo 6
Em ambos os casos, o termo constante
pede um ansatz constante
$$y_{p2}=C.
$$
Passo 7
A solução geral é a soma da homogênea com as particulares. Resumindo:
Caso :
Caso
com
.
Caso
:
Resposta
Para a≠2:
Para a=2: