Encontre a solução geral da equação de Legendre
onde
é um parâmetro real. (Para encontrar duas soluções L.I. para a equação acima, encontre
solução satisfazendo
e
. Depois encontre
solução satisfazendo
e
. A solução geral será
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Legendre
com parâmetro real
. Vamos achar duas soluções linearmente independentes por séries de potências centradas em
: uma solução par
com
e outra ímpar
com
. A combinação linear dessas duas dará a solução geral.
Passo 2
Para buscar uma série de potências, supomos
Então
$$
y’(x)=
\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1},
y’(x)=
\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1},
y’’(x)=
\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}.
\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}.
a_{n+2}=rac{n(n+1)-p(p+1)}{(n+1)(n+2)},a_n,
$$
válido para todo .
válido para todo
Passo 3
Para construir
com condição
e
tomamos
$$
a_0=1,
a_0=1,
a_1=0,
y_1(x)=
\sum_{k=0}^\infty a_{2k} x^{2k},
\sum_{k=0}^\infty a_{2k} x^{2k},
a_{2k}=
\prod_{j=1}^krac{(2j-2)(2j-1)-p(p+1)}{(2j-1)(2j)},
\prod_{j=1}^krac{(2j-2)(2j-1)-p(p+1)}{(2j-1)(2j)},
a_0=1.
$$
Passo 4
Para achar
com
e
tomamos
$$
b_0=0,
b_0=0,
b_1=1,
y_2(x)=
\sum_{k=0}^\infty b_{2k+1} x^{2k+1},
\sum_{k=0}^\infty b_{2k+1} x^{2k+1},
b_{2k+1}=
\prod_{j=1}^krac{(2j-1)(2j)-p(p+1)}{(2j)(2j+1)},
\prod_{j=1}^krac{(2j-1)(2j)-p(p+1)}{(2j)(2j+1)},
b_1=1.
$$
Passo 5
Com as duas séries em mãos, a solução geral da equação de Legendre é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições de contorno do problema específico.
Resposta
A solução geral é
com
e os coeficientes iniciais