Encontre a solução geral da equação de Legendre
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+p(p+1) y=0
onde p é um parâmetro real. (Para encontrar duas soluções L.I. para a equação acima, encontre y1(x) solução satisfazendo y1(0)=1 e y1^prime(0)=0. Depois encontre y2(x) solução satisfazendo y2(0)=0 e y2^prime(0)=1. A solução geral será y=C1 y1+C2 y2)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Legendre
(1 - x^2)y'' - 2x y' + p(p+1)y = 0
com parâmetro real p. Vamos achar duas soluções linearmente independentes por séries de potências centradas em x=0: uma solução par y1 com y1(0)=1, y1'(0)=0 e outra ímpar y2 com y2(0)=0, y2'(0)=1. A combinação linear dessas duas dará a solução geral.

Passo 2

Para buscar uma série de potências, supomos
y(x)= sumn=0^infty an x^n
Então
$$
y’(x)=
\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1},
y’’(x)=
\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}.
y'(x)= sumn=1^infty n an x^n-1, y''(x)= sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 çãíéê
a_{n+2}= rac{n(n+1)-p(p+1)}{(n+1)(n+2)},a_n,
$$
válido para todo an+2= racn(n+1)-p(p+1)(n+1)(n+2),an, .

Passo 3

Para construir y1(x) com condição y1(0)=1 e y1'(0)=0 tomamos
$$
a_0=1,
a_1=0,
a0=1, a1=0, ê
y_1(x)=
\sum_{k=0}^\infty a_{2k} x^{2k},
y1(x)= sumk=0^infty a2k x^2k,
a_{2k}=
\prod_{j=1}^k rac{(2j-2)(2j-1)-p(p+1)}{(2j-1)(2j)},
a_0=1.
$$

Passo 4

Para achar y2(x) com y2(0)=0 e y2'(0)=1 tomamos
$$
b_0=0,
b_1=1,
b0=0, b1=1, êí
y_2(x)=
\sum_{k=0}^\infty b_{2k+1} x^{2k+1},
y2(x)= sumk=0^infty b2k+1 x^2k+1,
b_{2k+1}=
\prod_{j=1}^k rac{(2j-1)(2j)-p(p+1)}{(2j)(2j+1)},
b_1=1.
$$

Passo 5

Com as duas séries em mãos, a solução geral da equação de Legendre é dada por
y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições de contorno do problema específico.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1sumk=0^infty a2kx^2k+C2sumk=0^infty b2k+1x^2k+1,
com
a2k=prodj=1^k(2j-2)(2j-1)-p(p+1)(2j-1)(2j), b2k+1=prodj=1^k(2j-1)(2j)-p(p+1)(2j)(2j+1),
e os coeficientes iniciais a0=1,a1=0,b0=0,b1=1.

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