Obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as parábolas com foco e diretriz, dadas a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar funções quadráticas cujos gráficos são parábolas com um foco específico e uma diretriz também dada. Em outras palavras, queremos a equação da parábola sabendo onde está o foco e qual é a diretriz. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de parábola e como a posição do foco e da diretriz influencia a forma da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma linha reta chamada diretriz. A posição do foco e da diretriz determina a abertura e a posição da parábola no plano.
Passo 3
No nosso caso, o foco está no ponto
e a diretriz é a reta
. Como a diretriz é uma reta horizontal, sabemos que a parábola abrirá para cima ou para baixo.
Passo 4
Para encontrar a equação da parábola, vamos usar a fórmula padrão para uma parábola que abre verticalmente:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do vértice. Sabemos que o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz. Como o foco está em
e a diretriz está em
, a coordenada y do vértice será a média desses dois valores:
A coordenada x do vértice é a mesma do foco, que é
. Então, o vértice é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que
é a distância do vértice ao foco:
Como
é positivo e a diretriz está abaixo do foco, a parábola abre para cima.
Passo 7
Substituindo
,
e
na fórmula padrão, temos:
Simplificando:
Passo 8
Para deixar a equação mais clara, podemos resolver para
:
Resposta
A função quadrática desejada é: