Obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as parábolas com foco e diretriz, dadas a seguir:
F=(32, 0), r: y=-12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar funções quadráticas cujos gráficos são parábolas com um foco específico e uma diretriz também dada. Em outras palavras, queremos a equação da parábola sabendo onde está o foco e qual é a diretriz. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de parábola e como a posição do foco e da diretriz influencia a forma da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma linha reta chamada diretriz. A posição do foco e da diretriz determina a abertura e a posição da parábola no plano.

Passo 3

No nosso caso, o foco está no ponto e a diretriz é a reta . Como a diretriz é uma reta horizontal, sabemos que a parábola abrirá para cima ou para baixo.

Passo 4

Para encontrar a equação da parábola, vamos usar a fórmula padrão para uma parábola que abre verticalmente:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do vértice. Sabemos que o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz. Como o foco está em k = 0 + (-12)2 = -14 e a diretriz está em , a coordenada y do vértice será a média desses dois valores:
A coordenada x do vértice é a mesma do foco, que é . Então, o vértice é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de p = 0 - (-14) = 14 . Sabemos que é a distância do vértice ao foco:
Como é positivo e a diretriz está abaixo do foco, a parábola abre para cima.

Passo 7

Substituindo (x - 32)^2 = 4 cdot 14 (y - (-14)) , (x - 32)^2 = (y + 14) e na fórmula padrão, temos:
Simplificando:

Passo 8

Para deixar a equação mais clara, podemos resolver para y = (x - 32)^2 - 14 :

Resposta

A função quadrática desejada é:
y = (x - 32)^2 - 14

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