Resolva o problema a seguir
Passo 1
Temos a equação
Essa é uma EDO de segunda ordem sem termo em
e com coeficientes variáveis. Vamos transformá-la numa equação de Bessel.
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por
para ficar no formato padrão
ou seja
com
.
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Como
, temos
onde primos em
são derivadas em relação a
.
Passo 4
Substituindo as expressões de
na equação original obtemos
que simplifica para
ou ainda
Passo 5
Para chegar à forma padrão de Bessel, fazemos a substituição
Ao inserir na equação e exigir que o coeficiente de
seja
, achamos
Passo 6
Com
, a equação para
fica
ok que é a equação de Bessel de ordem
e parâmetro
.
Passo 7
A solução geral para
é
Passo 8
Voltando a
, temos
e
. Então
Passo 9
final_answer