Resolva o problema a seguir
9 x^2 y^prime prime+2(2 x+1) y=0

Passo 1

Temos a equação
9x^2y'' + 2(2x+1)y = 0
Essa é uma EDO de segunda ordem sem termo em y' e com coeficientes variáveis. Vamos transformá-la numa equação de Bessel.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por 9x^2 para ficar no formato padrão
y'' + 4x+29x^2,y = 0
ou seja y'' + p(x)y=0 com p(x)=4x+29x^2.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = raizx, y(x)=w(t)
Como t=raizx, temos
y' = dwdx = dwdtdtdx = w'2t,
y'' = ddxl(w'2tr) = 12tddtl(w'2tr) = w''4t^2 - w'4t^3,
onde primos em w são derivadas em relação a t.

Passo 4

Substituindo as expressões de y'' na equação original obtemos
9t^4l(w''4t^2 - w'4t^3r) + 2(2t^2+1)w = 0
que simplifica para
9l(t^2w'' - tw'r) + 8(2t^2+1)w = 0
ou ainda
t^2w'' - tw' + 169t^2w + 89w = 0

Passo 5

Para chegar à forma padrão de Bessel, fazemos a substituição
w(t) = t^kv(t)
Ao inserir na equação e exigir que o coeficiente de t v' seja +1, achamos
2k - 1 = 1 Rightarrow k = 1

Passo 6

Com k=1, a equação para v(t) fica
t^2v'' + tv' + l(tfrac43^2,t^2 - tfrac13^2r)v = 0,
ok que é a equação de Bessel de ordem nu=tfrac13 e parâmetro alpha=tfrac43.

Passo 7

A solução geral para v(t) é
v(t) = C1J1/3l(tfrac43tr) + C2Y1/3l(tfrac43tr)

Passo 8

Voltando a y, temos y(x)=w(t)=t,v(t) e t=raizx. Então

Passo 9

final_answer

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