(2.5 pt) Encontre a solução geral da equação,
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
O conteúdo envolvido é resolução de equações lineares com coeficientes constantes: primeiro encontramos a solução geral homogênea pelo polinômio característico e depois obtemos uma solução particular usando o método de variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
que tem raiz dupla
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tomamos duas soluções fundamentais da homogênea:
Escrevemos a equação no formato padrão
com
,
e
. A seguir calculamos o Wronskiano
Passo 4
Calculando derivadas:
Então
Passo 5
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Integramos:
A solução particular é
Resposta
A solução geral da equação é