(2.5 pt) Encontre a solução geral da equação,
y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+25 y=\frac{e^{-5 x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
y'' + 10\,y' + 25\,y = \frac{e^{-5x}}{x}.
O conteúdo envolvido é resolução de equações lineares com coeficientes constantes: primeiro encontramos a solução geral homogênea pelo polinômio característico e depois obtemos uma solução particular usando o método de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 10\,y' + 25\,y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 10r + 25 = 0 \;\Longrightarrow\;(r + 5)^2 = 0,
que tem raiz dupla r = -5. Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-5x} + C_2\,x\,e^{-5x}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos duas soluções fundamentais da homogênea:
y_1 = e^{-5x}, \quad y_2 = x\,e^{-5x}.
Escrevemos a equação no formato padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = f(x),
com p(x)=10, q(x)=25 e f(x)=e^{-5x}/x. A seguir calculamos o Wronskiano
W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix}.]

Passo 4

Calculando derivadas:
y_1' = -5\,e^{-5x}, \quad y_2' = e^{-5x} -5x\,e^{-5x} = e^{-5x}(1 - 5x).
Então
W = e^{-5x}\,e^{-5x}(1-5x) \;-\;(-5\,e^{-5x})\,(x\,e^{-5x}) = e^{-10x}(1-5x) + 5x\,e^{-10x} = e^{-10x}.

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1' = -\frac{y_2\,f}{W} = -\frac{x\,e^{-5x}\,\bigl(e^{-5x}/x\bigr)}{e^{-10x}} = -1, \quad u_2' = \frac{y_1\,f}{W} = \frac{e^{-5x}\,\bigl(e^{-5x}/x\bigr)}{e^{-10x}} = \frac{1}{x}.
Integramos:
u_1(x) = -\int 1\,dx = -x, \quad u_2(x) = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.
A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = (-x)\,e^{-5x} \;+\;\ln\lvert x\rvert\,\bigl(x\,e^{-5x}\bigr) = x\,e^{-5x}\,\bigl(\ln\lvert x\rvert - 1\bigr).

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\,e^{-5x} + C_2\,x\,e^{-5x} + x\,e^{-5x}\,\bigl(\ln\lvert x\rvert - 1\bigr).

Exercícios relacionados