(2,5 pt) Resolve o problema do valor de contorno
x^{2} y^{\prime \prime}+13 x y^{\prime}+40 y=0, \quad y(1)=0, \quad y(e)=\frac{1}{e^{6}}
Justifique todas as passagens.

Passo 1

O enunciado dá a EDO equidimensional de Cauchy–Euler
x^{2}y''+13x\,y'+40y=0
com condições de contorno
y(1)=0, \quad y(e)=\frac{1}{e^{6}}.
Para resolver, usamos o método de tentar
y=x^{m}.

Passo 2

Se y=x^{m} então
y'=m\,x^{m-1}, \quad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na EDO:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]+13x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+40x^{m} =x^{m}\bigl[m(m-1)+13m+40\bigr]=0.
Logo a equação característica é
m^{2}+12m+40=0.

Passo 3

Calculando o discriminante \Delta=12^{2}-4\cdot1\cdot40=144-160=-16, obtemos
m=-6\pm2i.
Assim a solução geral real fica
y(x)=x^{-6}\bigl(A\cos(2\ln x)+B\sin(2\ln x)\bigr).

Passo 4

Impondo y(1)=0, notamos que \ln1=0 e 1^{-6}=1, então
y(1)=A\cos0+B\sin0=A=0.
Logo A=0 e
y(x)=B\,x^{-6}\sin(2\ln x).

Passo 5

Impondo y(e)=\tfrac{1}{e^{6}}, usamos \ln e=1 e e^{-6}:
y(e)=B\,e^{-6}\sin2=\frac{1}{e^{6}} \;\Longrightarrow\; B\sin2=1 \;\Longrightarrow\; B=\frac{1}{\sin2}.

Resposta

y(x)=x^{-6}\,\frac{\sin\bigl(2\ln x\bigr)}{\sin2}.

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