(2,5 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial,
y^{\prime \prime}-\left(\frac{2}{x}+3\right) y^{\prime}+\left(\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x}\right) y=0
sabendo que a sua solução particular é dada por y_{1}(x)=x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' - \biggl(\frac{2}{x}+3\biggr)y' + \biggl(\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x}\biggr)y = 0
sabendo que uma solução particular é y_{1}(x)=x.
Conteúdo: reduzir a ordem usando a solução conhecida para achar a segunda solução y_{2}(x) e então escrever a solução geral.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
onde identificamos
p(x) = -\Bigl(\frac{2}{x}+3\Bigr), \qquad q(x) = \frac{2}{x^2}+\frac{3}{x}.

Passo 3

Pela técnica de redução de ordem, a segunda solução é
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int p(x)\,dx\bigr)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Calculamos primeiro
\int p(x)\,dx = \int\Bigl(-\tfrac{2}{x}-3\Bigr)\,dx = -2\ln|x| -3x,
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-\int p(x)\,dx = 2\ln|x| + 3x,
e
\exp\bigl(-\!\!\int p\,dx\bigr) = e^{2\ln|x|+3x} = x^{2}e^{3x}.

Passo 4

Substituímos em y_{2}:
y_{2}(x) = x \int \frac{x^{2}e^{3x}}{x^{2}}\,dx = x \int e^{3x}\,dx = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x}.
Como multiplicar por constante não gera nova solução essencial, escolhemos
y_{2}(x) = x e^{3x}.

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear de y_{1} e y_{2}:
y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x e^{3x}.

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