Encontre a solução geral para a equação
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
Nada mais é pedido além da solução geral
.
Passo 2
Primeira etapa: achar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, zerar o lado direito). Considere a homogênea
Explicação didática do método usado aqui: para equações lineares com coeficientes constantes tentamos uma solução da forma
. Substituindo essa forma na equação homogênea obtemos uma equação para
(chamada equação característica). A razão é que derivar
apenas multiplica por
, então tudo vira um polinômio em
.
Fazendo isso:
Substituindo na homogênea e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula
Quando a equação característica tem raízes
com
, a solução geral da homogênea é
Aqui
e
, logo
Pequena explicação intuitiva: a parte exponencial
vem do decaimento (parte real
) e as funções seno e cosseno vêm da oscilação (parte imaginária
).
Passo 4
Segunda etapa: achar uma solução particular
da equação completa
Escolha do método e por quê (explicação didática): como o lado direito é uma combinação de seno e cosseno de frequência
, é eficiente usar o método dos coeficientes indeterminados e tentar uma solução particular com a mesma frequência. Devemos verificar ressonância: se
fosse igual à frequência
da solução homogênea então precisaríamos multiplicar o palpite por
. Aqui
, portanto não há ressonância e o palpite padrão funciona.
Fazemos o palpite
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calculamos derivadas de
passo a passo (para não errar sinais):
Agora substituímos
na equação:
Passo 6
Organizamos os termos em
e
. Primeiro os coeficientes de
:
Agora os coeficientes de
:
Portanto o lado esquerdo fica
Igualando ao lado direito
, obtemos o sistema para
:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Logo a solução particular é
Pequeno comentário prático: muitas vezes o termo particular fica bem simples como aqui — bom sinal!
Passo 8
Soma da solução homogênea com a particular dá a solução geral da equação não-homogênea:
Substituindo os resultados:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).