Encontre a solução geral para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+4 y=\cos 2 t

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' + 4y = \cos 2t.
Informações dadas:
\text{Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, termo não-homogêneo } \cos 2t.çããê
Nada mais é pedido além da solução geral y(t).

Passo 2

Primeira etapa: achar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, zerar o lado direito). Considere a homogênea
y'' + 2y' + 4y = 0.
Explicação didática do método usado aqui: para equações lineares com coeficientes constantes tentamos uma solução da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo essa forma na equação homogênea obtemos uma equação para r (chamada equação característica). A razão é que derivar e^{rt} apenas multiplica por r, então tudo vira um polinômio em r.
Fazendo isso:
y(t)=e^{rt}\implies y'(t)=r e^{rt},\quad y''(t)=r^2 e^{rt}.
Substituindo na homogênea e dividindo por e^{rt} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 4 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 + 2r + 4 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}.
Quando a equação característica tem raízes \alpha \pm i\beta com \beta\neq 0, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\big).
Aqui \alpha=-1 e \beta=\sqrt{3}, logo
y_h(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(\sqrt{3}\,t) + C_2\sin(\sqrt{3}\,t)\big).
Pequena explicação intuitiva: a parte exponencial e^{-t} vem do decaimento (parte real \alpha) e as funções seno e cosseno vêm da oscilação (parte imaginária \beta).

Passo 4

Segunda etapa: achar uma solução particular y_p(t) da equação completa
y'' + 2y' + 4y = \cos 2t.
Escolha do método e por quê (explicação didática): como o lado direito é uma combinação de seno e cosseno de frequência 2, é eficiente usar o método dos coeficientes indeterminados e tentar uma solução particular com a mesma frequência. Devemos verificar ressonância: se 2 fosse igual à frequência \beta=\sqrt{3} da solução homogênea então precisaríamos multiplicar o palpite por t. Aqui \sqrt{3}\approx 1{,}732\neq 2, portanto não há ressonância e o palpite padrão funciona.
Fazemos o palpite
y_p(t) = a\cos 2t + b\sin 2t,
onde a e b são constantes a determinar.

Passo 5

Calculamos derivadas de y_p passo a passo (para não errar sinais):
y_p'(t) = -2a\sin 2t + 2b\cos 2t,
y_p''(t) = -4a\cos 2t -4b\sin 2t.
Agora substituímos y_p, y_p', y_p'' na equação:
y_p'' + 2y_p' + 4y_p = (-4a\cos 2t -4b\sin 2t) + 2(-2a\sin 2t + 2b\cos 2t) + 4(a\cos 2t + b\sin 2t).

Passo 6

Organizamos os termos em \cos 2t e \sin 2t. Primeiro os coeficientes de \cos 2t:
\cos 2t:\quad -4a + 4b + 4a = 4b.
Agora os coeficientes de \sin 2t:
\sin 2t:\quad -4b -4a + 4b = -4a.
Portanto o lado esquerdo fica
y_p'' + 2y_p' + 4y_p = 4b\cos 2t -4a\sin 2t.
Igualando ao lado direito \cos 2t + 0\cdot\sin 2t, obtemos o sistema para a,b:
4b = 1,\qquad -4a = 0.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
a = 0,\qquad b = \frac{1}{4}.
Logo a solução particular é
y_p(t) = 0\cdot\cos 2t + \frac{1}{4}\sin 2t = \frac{1}{4}\sin 2t.
Pequeno comentário prático: muitas vezes o termo particular fica bem simples como aqui — bom sinal!

Passo 8

Soma da solução homogênea com a particular dá a solução geral da equação não-homogênea:
y(t) = y_h(t) + y_p(t).
Substituindo os resultados:
y(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(\sqrt{3}\,t) + C_2\sin(\sqrt{3}\,t)\big) + \frac{1}{4}\sin 2t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(\sqrt{3}\,t)\big)+\frac{1}{4}\sin 2t

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