Encontre a solução geral para a equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+4 y=t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' + 4y = t.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • Coeficientes são constantes e o termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio t (grau 1).
  • A tarefa é fornecer a solução geral y(t), que deve conter as constantes arbitrárias da solução homogênea.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular:
y(t)=y_c(t)+y_p(t).
  • A solução complementar y_c vem da equação homogênea associada
y''+2y'+4y=0.
  • Para encontrar y_p (solução particular), usamos o método dos coeficientes indeterminados porque o termo não-homogêneo é um polinômio simples. Esse método consiste em tentar um ansatz (palpite) da mesma forma do termo direito, ajustar coeficientes indeterminados e determinar esses coeficientes substituindo na equação.
  • Antes de escolher o ansatz polinomial, verificamos se há “ressonância”: isto é, se a forma proposta para y_p é solução da homogênea. Se fosse, multiplicaríamos por potências de t. Aqui os autovalores da homogênea não são zero, então não há ressonância com polinômio.

Passo 3

Resolver a equação homogênea e explicar por que o resultado tem a forma que terá.
Equação homogênea:
y''+2y'+4y=0.
Procuramos soluções da forma exponencial y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+2r+4=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 4-16 = -12.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos as raízes:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}.
Quando as raízes da equação característica são r=\alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), a forma geral da solução real da homogênea é
y_c(t) = e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
porque e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t)) (fórmula de Euler) e as partes real/imaginar formam soluções reais linearmente independentes.
Aqui \alpha=-1 e \beta=\sqrt{3}, portanto
y_c(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(\sqrt{3}\,t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_p pelo método dos coeficientes indeterminados, com explicação passo a passo.
  • O termo não-homogêneo é t, um polinômio de grau 1. Tentamos um polinômio de mesmo grau:
y_p(t) = At + B,
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar.
  • Calcule as derivadas necessárias:
y_p'(t) = A,
y_p''(t) = 0.
  • Substitua y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial:
y_p'' + 2y_p' + 4y_p = 0 + 2A + 4(At+B).
Organize em termos de t e constantes:
2A + 4At + 4B = 4A t + (2A + 4B).
  • Esse resultado deve ser igual ao lado direito t. Igualamos coeficientes do polinômio em t:
    Coeficiente de t:
4A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.
Coeficiente constante:
2A + 4B = 0.
Substituindo A=\tfrac{1}{4}:
2\cdot \tfrac{1}{4} + 4B = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2} + 4B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{1}{8}.
  • Logo a solução particular é
y_p(t) = \tfrac{1}{4}t - \tfrac{1}{8}.

Passo 5

Montar a solução geral somando a complementar e a particular, e comentar o papel das constantes arbitrárias.
A solução geral é
y(t)=y_c(t)+y_p(t)
ou seja
y(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(\sqrt{3}\,t)\big) + \tfrac{1}{4}t - \tfrac{1}{8},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se elas forem fornecidas.

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(\sqrt{3}\,t)\big)+\tfrac{1}{4}t-\tfrac{1}{8}

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