Encontre a solução geral para a equação
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
- Coeficientes são constantes e o termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
(grau ). - A tarefa é fornecer a solução geral
, que deve conter as constantes arbitrárias da solução homogênea.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática):
- Para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular:
- A solução complementar
vem da equação homogênea associada
- Para encontrar
(solução particular), usamos o método dos coeficientes indeterminados porque o termo não-homogêneo é um polinômio simples. Esse método consiste em tentar um ansatz (palpite) da mesma forma do termo direito, ajustar coeficientes indeterminados e determinar esses coeficientes substituindo na equação. - Antes de escolher o ansatz polinomial, verificamos se há “ressonância”: isto é, se a forma proposta para
é solução da homogênea. Se fosse, multiplicaríamos por potências de . Aqui os autovalores da homogênea não são zero, então não há ressonância com polinômio.
Passo 3
Resolver a equação homogênea e explicar por que o resultado tem a forma que terá.
Equação homogênea:
Procuramos soluções da forma exponencial
. Substituindo obtemos a equação característica
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos as raízes:
Quando as raízes da equação característica são
(com
), a forma geral da solução real da homogênea é
porque
(fórmula de Euler) e as partes real/imaginar formam soluções reais linearmente independentes.
Aqui
e
, portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
pelo método dos coeficientes indeterminados, com explicação passo a passo.
- O termo não-homogêneo é
, um polinômio de grau . Tentamos um polinômio de mesmo grau:
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar.
- Calcule as derivadas necessárias:
- Substitua
, e na equação diferencial:
Organize em termos de
e constantes:
- Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualamos coeficientes do polinômio em :
Coeficiente de:
Coeficiente constante:
Substituindo
:
- Logo a solução particular é
Passo 5
Montar a solução geral somando a complementar e a particular, e comentar o papel das constantes arbitrárias.
A solução geral é
ou seja
onde
e
são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se elas forem fornecidas.