Encontre a soluçăo geral para a equação para t>0
y^{\prime \prime}(t)-\frac{1}{t} y^{\prime}(t)+\frac{5}{t^{2}} y(t)=0
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \quad c_{1} t^{2} \cos [t]+c_{2} t \sin [t]
\bigcirc b. \quad c_{1} t \cos [2 \ln (t)]+c_{2} t \sin [2 \ln (t)]
\bigcirc c. c_{1} t \cos [2 t]+c_{2} t \sin [2 t]
\bigcirc d. \quad c_{1} t^{2} \cos [\ln (t)]+c_{2} t \sin [\ln (t)]

Passo 1

O enunciado pede a solução geral, para t>0, da equação diferencial
y^{\prime\prime}(t)-\frac{1}{t}y^{\prime}(t)+\frac{5}{t^{2}}y(t)=0.
Informações relevantes dadas:
\text{(i)}\\ t>0;\qquad \text{(ii)}\\ \text{equação linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de }t.çããê
O objetivo é encontrar a família de soluções gerais y(t) (com constantes arbitrárias c_{1},c_{2}) e escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Motivação do método e escolha da tentativa: como os coeficientes da equação são funções do tipo t^{-1} e t^{-2} (potências de t), uma tentativa muito eficaz é procurar soluções do tipo potência
y(t)=t^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha é natural porque quando derivamos potências de t aparece sempre outro múltiplo de uma potência de t, o que permite transformar a EDO numa equação algébrica para r.

Passo 3

Calcular as derivadas de y(t)=t^{r}. Usando regras básicas de derivação:
y'(t)=r\,t^{r-1},
y''(t)=r(r-1)\,t^{r-2}.
Agora vamos substituir essas expressões na equação dada. Para simplificar a substituição, multiplico a equação original por t^{2} (válido porque t>0):
t^{2}y''(t)-t\,y'(t)+5\,y(t)=0.

Passo 4

Substituindo y,y',y'' em t^{2}y''-t y'+5y=0:
t^{2}\big[r(r-1)t^{r-2}\big]-t\big[r t^{r-1}\big]+5\big[t^{r}\big]=0.
Simplificando fatores t^{r} (como t^{r}\neq0 para t>0):
r(r-1)-r+5=0.
Agora desenvolvo essa expressão:
r(r-1)-r+5 = r^{2}-r - r +5 = r^{2}-2r+5.
Portanto obtemos a equação característica
r^{2}-2r+5=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática para r. Calculo do discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot5=4-20=-16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.
Logo temos r=1+2i e r=1-2i.

Passo 6

Construir a solução real geral a partir das raízes complexas. Explico por que a forma abaixo funciona: para r=a\pm ib uma solução complexa é t^{r}=t^{a}t^{ib}=t^{a}e^{ib\ln t}. As partes real e imaginária de t^{r} fornecem duas soluções reais independentes:
t^{a}\cos(b\ln t)\quad\text{e}\quad t^{a}\sin(b\ln t).
Aqui a=1 e b=2, então a solução geral real é
y(t)=t^{1}\big(c_{1}\cos(2\ln t)+c_{2}\sin(2\ln t)\big),
onde c_{1} e c_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 7

Escrevendo de forma limpa a solução encontrada:
y(t)=t\big(c_{1}\cos[2\ln(t)]+c_{2}\sin[2\ln(t)]\big).
Comparando com as opções dadas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa (b).

Resposta

(b) \quad c_{1} t \cos [2 \ln (t)]+c_{2} t \sin [2 \ln (t)]

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