Encontre a soluçăo geral para a equação para
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral, para
, da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
O objetivo é encontrar a família de soluções gerais
(com constantes arbitrárias
) e escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Motivação do método e escolha da tentativa: como os coeficientes da equação são funções do tipo
e
(potências de
), uma tentativa muito eficaz é procurar soluções do tipo potência
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha é natural porque quando derivamos potências de
aparece sempre outro múltiplo de uma potência de
, o que permite transformar a EDO numa equação algébrica para
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
. Usando regras básicas de derivação:
Agora vamos substituir essas expressões na equação dada. Para simplificar a substituição, multiplico a equação original por
(válido porque
):
Passo 4
Substituindo
em
:
Simplificando fatores
(como
para
):
Agora desenvolvo essa expressão:
Portanto obtemos a equação característica
Passo 5
Resolver a equação quadrática para
. Calculo do discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Logo temos
e
.
Passo 6
Construir a solução real geral a partir das raízes complexas. Explico por que a forma abaixo funciona: para
uma solução complexa é
. As partes real e imaginária de
fornecem duas soluções reais independentes:
Aqui
e
, então a solução geral real é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 7
Escrevendo de forma limpa a solução encontrada:
Comparando com as opções dadas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa (b).
Resposta
(b)