Encontre a solução geral para a equação para t>0 t^{2} \frac{d^{2} z}{d t^{2}}+5 t \frac{d z}{d t}+4 z=0
Escolha uma opção: \bigcirc a. c_{1} t^{-2} \bigcirc b. c_{1} t^{-1}+c_{2} t^{-4} \bigcirc c. c_{1} t^{3}+c_{2} t^{2} \bigcirc d. c_{1} t^{-2}+c_{2} t^{-2} \ln t
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial para t>0:
t^{2}\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+5t\frac{dz}{dt}+4z=0.
O que se pede: encontrar a solução geral (para t>0) e escolher a alternativa correta entre:
a. c_{1} t^{-2}
b. c_{1} t^{-1}+c_{2} t^{-4}
c. c_{1} t^{3}+c_{2} t^{2}
d. c_{1} t^{-2}+c_{2} t^{-2} \ln t
Passo 2
Vamos tentar a técnica padrão para equações do tipo equidimensional (Euler–Cauchy): procurar soluções da forma z=t^{m}, com m constante. A ideia é que derivadas de t^{m} dão potências de t que se ajustam bem quando os coeficientes são t^{2}, t, constantes. Agora calculemos as derivadas de z=t^{m}:
\frac{dz}{dt}=m\,t^{m-1},
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=m(m-1)\,t^{m-2}.
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação original: