Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+9 y^prime+9 y=0( Resposta y(t)=c1 e^(9+3 raiz5) t / 2+c2 e^(9-3 raiz5) t / 2)

Passo 1

Nosso objetivo é resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y' + 9y = 0
Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

A ideia é supor uma solução do tipo y(t)=e^rt. Substituindo na equação original, temos:
r^2 e^rt + 9r e^rt + 9 e^rt = 0
Como e^rtneq 0, podemos dividir tudo por e^rt e obter a equação característica:
A equação característica é
r^2 + 9r + 9 = 0
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes r1 e r2. Calculamos o discriminante:
De
Logo, as raízes são
r = -9 pm raiz452 = -9 pm 3raiz52

Passo 3

Como as raízes r1 = tfrac-9 + 3raiz52 e r2 = tfrac-9 - 3raiz52 são distintas, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear das exponenciais:
Concluindo, a solução geral é:
y(t) = C1 e^-9 + 3raiz52t + C2 e^-9 - 3raiz52t

Resposta

y(t) = C_1 e^{\tfrac{-9 + 3\sqrt{5}}{2}t} + C_2 e^{\tfrac{-9 - 3\sqrt{5}}{2}t}

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