Encontre a solução geral da equação
6 y^prime prime-9 y=0( Resposta y(t)=c1 e^3 t / 2+c2 e^-3 t / 2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
6y''-9y=0
Vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução do tipo y=e^rt.

Passo 2

Substituímos y=e^rt em 6y''-9y=0. Como y'=r e^rt e y''=r^2e^rt, temos:
6r^2e^rt-9e^rt=0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero) obtemos a equação característica:

Passo 3

A equação característica fica
6r^2-9=0
Resolvendo-a:
6r^2=9
r^2=tfrac96=tfrac32
Logo
r=pmraiztfrac32,

Passo 4

Como as raízes r1=raiz3/2 e r2=-raiz3/2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes.

Resposta

y(t)=c_{1}e{\sqrt{\tfrac{3}{2}},t}+c_{2}e{-\sqrt{\tfrac{3}{2}},t}

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