Encontre a solução do Problema de Valor Inicial.
)
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Temos
Temos
com condições iniciais
$$y(1) = 1,
\quad y’(1) = 0.$$
O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.
O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro a gente escreve a equação característica associada à EDO:
Calculando o discriminante:
.
Então as raízes são
Então as raízes são
São raízes reais e distintas.
Passo 3
Como as raízes são
e
, a solução geral da EDO é dada por
Essa fórmula vem da teoria de EDOs homogêneas com raízes reais distintas.
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada pra usar a condição em
:
Passo 5
Aplicando as condições iniciais em
geramos o sistema
Aqui montamos duas equações lineares em
e
.
Passo 6
Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Logo
Substituindo tudo em
e reescrevendo em função de
, obtemos a solução particular.
Passo 7
Confirmando a forma final da solução usando os valores de
e
, temos
Passo 8
Essa expressão coincide com a resposta esperada, então chegamos ao resultado.
Resposta
y(t) = \tfrac{1}{10}e^{-9(t-1)} + \tfrac{9}{10}e^{t-1}