Encontre a solução do Problema de Valor Inicial.
y^prime prime+8 y^prime-9 y=0, para y(1)=1, y^prime(1)=0(Resposta y(t)=110 e^-9(t-1)+ 910 e^t-1 )

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Temos
y'' + 8y' - 9y = 0,
com condições iniciais
$$y(1) = 1,
\quad y’(1) = 0.$$
O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro a gente escreve a equação característica associada à EDO:
r^2 + 8r - 9 = 0
Calculando o discriminante: De.
Então as raízes são
r = -8 pm 102 = 1,,-9
São raízes reais e distintas.

Passo 3

Como as raízes são r1=1 e r2=-9, a solução geral da EDO é dada por
y(t) = C1 e^t + C2 e^-9t
Essa fórmula vem da teoria de EDOs homogêneas com raízes reais distintas.

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada pra usar a condição em y':
y'(t) = C1 e^t - 9 C2 e^-9t

Passo 5

Aplicando as condições iniciais em t=1 geramos o sistema
C1 e + C2 e^-9 = 1, C1 e - 9 C2 e^-9 = 0
Aqui montamos duas equações lineares em C1 e C2.

Passo 6

Da segunda equação vem
C1 e = 9 C2 e^-9 Longrightarrow C1 = 9 C2 e^-10
Substituindo na primeira:
9 C2 e^-9 + C2 e^-9 = 1 Longrightarrow 10 C2 e^-9 = 1 Longrightarrow C2 = e^910
Logo
C1 = 9 C2 e^-10 = 910e^-1
Substituindo tudo em y(t) e reescrevendo em função de t-1, obtemos a solução particular.

Passo 7

Confirmando a forma final da solução usando os valores de C1 e C2, temos
y(t) = 910e^-1 e^t + e^910 e^-9t = 910e^t-1 + 110e^-9(t-1)

Passo 8

Essa expressão coincide com a resposta esperada, então chegamos ao resultado.

Resposta

y(t) = \tfrac{1}{10}e^{-9(t-1)} + \tfrac{9}{10}e^{t-1}

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