Encontre a solução do Problema de Valor Inicial.
y^prime prime+3 y^prime=0, para y(0)=-2, y^prime(0)=3( Resposta y(t)=-1-e^-3 t)

Passo 1

O enunciado pede pra achar a solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 3y' = 0, sujeita às condições iniciais y(0) = -2 e y'(0) = 3. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Pra resolver equações homogêneas de coeficientes constantes, montamos a equação característica substituindo y = e^rt. Então temos:
r^2 + 3r = 0
Resolvendo isso a gente encontra as raízes.

Passo 3

A equação r^2 + 3r = 0 fatorada é r(r + 3) = 0, logo as raízes são r1 = 0 e r2 = -3. Com isso, a solução geral fica
y(t) = C1 e^0,t + C2 e^-3t = C1 + C2 e^-3t

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais. Primeiro, y(0) = C1 + C2 = -2. Em seguida calculamos y'(t):
y'(t) = 0cdot C1 + C2(-3)e^-3t = -3 C2 e^-3t
Logo y'(0) = -3C2 = 3, o que dá C2 = -1.

Passo 5

Substituindo C2 = -1 em C1 + C2 = -2 vem C1 -1 = -2, então C1 = -1. Logo a solução particular é
y(t) = -1 - e^-3t

Resposta

y(t) = -1 - e^{-3t}

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