Calcule o volume da esfera de raio
utilizando a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de uma esfera com raio
usando integral. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a aplicação de integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a integral que representa o volume da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como representar a esfera de forma matemática. Uma esfera centrada na origem com raio
pode ser descrita pela equação:
Como vamos trabalhar com integrais, uma maneira prática é usar a simetria da esfera e calcular o volume em coordenadas cilíndricas ou esféricas. Aqui, vou optar pelas coordenadas esféricas porque são mais naturais para uma esfera.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por três coordenadas: o raio
, o ângulo polar
e o ângulo azimutal
. A relação entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
é:
O volume infinitesimal em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Para encontrar o volume da esfera, vamos integrar
sobre todos os valores possíveis de
,
e
que descrevem a esfera completa. Os limites de integração são:
-
vai de a (o raio da esfera), -
vai de a (variação completa do ângulo polar), -
vai de a (variação completa do ângulo azimutal).
Então, a integral para o volume
fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Substituindo de novo na integral:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Portanto, o volume fica:
Resposta
O volume da esfera de raio
é: