(3 pontos) Calcule o volume da esfera de raio r utilizando a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de uma esfera com raio r usando integral. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a aplicação de integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a integral que representa o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como representar a esfera de forma matemática. Uma esfera centrada na origem com raio r pode ser descrita pela equação:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
Como vamos trabalhar com integrais, uma maneira prática é usar a simetria da esfera e calcular o volume em coordenadas cilíndricas ou esféricas. Aqui, vou optar pelas coordenadas esféricas porque são mais naturais para uma esfera.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por três coordenadas: o raio rho, o ângulo polar phi e o ângulo azimutal theta. A relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas (rho, phi, theta) é:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
O volume infinitesimal em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Para encontrar o volume da esfera, vamos integrar dV sobre todos os valores possíveis de rho, phi e theta que descrevem a esfera completa. Os limites de integração são:
  • rho vai de 0 a r (o raio da esfera),
  • phi vai de 0 a pi (variação completa do ângulo polar),
  • theta vai de 0 a 2pi (variação completa do ângulo azimutal).
Então, a integral para o volume V fica:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^r rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^r rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^r = r^33
Agora, substituímos esse resultado na integral:
V = r^33 integral0^2pi integral0^pi sinphi , dphi , dtheta

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = 1 + 1 = 2
Substituindo de novo na integral:
V = r^33 times 2 integral0^2pi dtheta = 2r^33 integral0^2pi dtheta

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto, o volume fica:
V = 2r^33 times 2pi = 4pi r^33

Resposta

O volume da esfera de raio r é:
V = 43pi r^3

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