(a) Encontre a solução geral da equação e a solução do problema de valor inicial
(b) Determine o intervalo de validade da solução.
(c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local.
(d) Esboce o gráfico da solução.
(c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local.
(d) Esboce o gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. Este é um caso de equação homogênea de grau zero em
, pois a razão
é função de
. Para resolver, vamos usar a substituição
convertendo em uma equação separável em
e
.
Passo 2
Com
temos
Substituindo na equação original:
Isolando
:
Passo 3
Escrevemos
e separamos variáveis:
Observando que
, a integral do lado esquerdo fica
Do lado direito obtemos
. Logo
e assim
Passo 4
Voltando a
, multiplicamos por
e achamos a solução geral implícita
Impondo
dá
Portanto a solução particular é
Passo 5
Para escrever
explicitamente isolamos
na equação quadrática
e obtemos
Como em
queremos
, escolhemos o sinal
, isto é
Passo 6
Para que a raiz
seja real é preciso
Além disso, evitamos pontos onde o denominador
da derivada se anula, mas esses coincidem com
. Logo o intervalo maximal de validade contendo
é
Passo 7
Pontos críticos ocorrem quando
, isto é
ou
. Interceptando com a solução
dá
Analisando o sinal de
antes e depois de
conclui-se que nesse ponto a curva muda de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local em
No ponto
há derivada nula mas sem troca de sinal, logo não é extremo.
Passo 8
O esboço de
no intervalo
mostra a curva subindo desde a borda esquerda até o máximo em
, depois descendo até a borda direita, tocando os pontos onde
e
.
Resposta
(a) Solução geral implícita:
solução particular com
:
(b) Intervalo de validade contendo
:
(c) Máximo local em
(d) Gráfico: curva cresce da borda esquerda do domínio até o máximo em
, depois decresce até a borda direita, onde toca
.