(a) Encontre a solução geral da equação e a solução do problema de valor inicial
l d yd x=2 x-yx-2 y y(1)=3
(b) Determine o intervalo de validade da solução.
(c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local.
(d) Esboce o gráfico da solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx=2x-y,x-2y,
com condição inicial y(1)=3. Este é um caso de equação homogênea de grau zero em x,y, pois a razão (2x-y)/(x-2y) é função de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
y=vx,
convertendo em uma equação separável em v e x.

Passo 2

Com y=vx temos
dydx=v+xdvdx
Substituindo na equação original:
v+xdvdx =2x-vx,x-2vx, =2-v,1-2v,
Isolando tfracdvdx:
xdvdx =2-v1-2v-v =2-2v+2v^21-2v =2l(1-v+v^2r)1-2v

Passo 3

Escrevemos
dvdx =2x;1-v+v^21-2v
e separamos variáveis:
integral1-2v1-v+v^2,dv =2integraldxx
Observando que ddv(v^2-v+1)=2v-1, a integral do lado esquerdo fica
integral1-2v1-v+v^2,dv =-integral2v-1v^2-v+1,dv =-lnl(v^2-v+1r)+K
Do lado direito obtemos 2ln|x|+K. Logo
-lnl(v^2-v+1r)=2ln|x|+K Longrightarrow lnl(v^2-v+1r)=-2ln|x|+K'
e assim
v^2-v+1=C,x^-2

Passo 4

Voltando a v=y/x, multiplicamos por x^2 e achamos a solução geral implícita
y^2 -xy + x^2 = C
Impondo y(1)=3
3^2 -1cdot3 +1^2=9-3+1=7 Longrightarrow C=7
Portanto a solução particular é
y^2 -xy + x^2 = 7

Passo 5

Para escrever y explicitamente isolamos y na equação quadrática
y^2 -xy + x^2 -7=0
e obtemos
y=xpmraizx^2-4(x^2-7)2 =xpmraiz28-3x^22
Como em x=1 queremos y(1)=3, escolhemos o sinal +, isto é
y(x)=x+raiz28-3x^22

Passo 6

Para que a raiz raiz28-3x^2 seja real é preciso
28-3x^2>=0 Longrightarrow |x|<=raiztfrac283=2raiz213
Além disso, evitamos pontos onde o denominador x-2y da derivada se anula, mas esses coincidem com |x|=tfrac2raiz213. Logo o intervalo maximal de validade contendo x=1 é
gl(-2raiz213,;2raiz213gr)

Passo 7

Pontos críticos ocorrem quando tfracdydx=0, isto é 2x-y=0 ou y=2x. Interceptando com a solução y^2-xy+x^2=7
(2x)^2-x(2x)+x^2=3x^2=7 Longrightarrow x=pmraiztfrac73,;y=2x
Analisando o sinal de tfracdydx antes e depois de x=+raiz7/3 conclui-se que nesse ponto a curva muda de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local em
l(raiztfrac73,,2raiztfrac73r)
No ponto x=-raiz7/3 há derivada nula mas sem troca de sinal, logo não é extremo.

Passo 8

O esboço de y(x)=tfracx+raiz28-3x^22 no intervalo l(-2raiz21/3,2raiz21/3r) mostra a curva subindo desde a borda esquerda até o máximo em x=raiz7/3approx1,53, depois descendo até a borda direita, tocando os pontos onde raiz28-3x^2=0 e y=x/2.

Resposta

(a) Solução geral implícita:
y^2 -xy + x^2 = C,
solução particular com y(1)=3:
y^2 -xy + x^2 =7 Longrightarrow y(x)=x+raiz28-3x^22
(b) Intervalo de validade contendo x=1:
gl(-2raiz213,;2raiz213gr)
(c) Máximo local em
l(raiztfrac73,,2raiztfrac73r)
(d) Gráfico: curva cresce da borda esquerda do domínio até o máximo em xapprox1,53, depois decresce até a borda direita, onde toca y=x/2.

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