Determine as raízes das seguintes equações não lineares simultâneas por meio do método do ponto fixo:
& y=-x^2+x+0.75 & y+5 x y=x^2

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y=-x^2+x+0.75, y+5xy=x^2,
e pede que a gente ache suas raízes usando o método do ponto fixo. O conteúdo central é transformar cada equação numa forma “ x=dots” ou “ y=dots” e então iterar até convergir.

Passo 2

Da primeira equação já temos um mapeamento de x em y:
y=phi1(x)equiv -x^2+x+0.75
Da segunda, escrevemos
y+5xy=x^2 ;Longrightarrow; x^2-5xy-y=0
e resolvemos em x (usando fórmula de Bhaskara com coeficientes 1,-5y,-y):
x=phi2^pm(y) =5ypmraiz(5y)^2+4,y2 =5ypmraiz25y^2+4y2

Passo 3

Definimos então o esquema iterativo de ponto fixo em duas variantes (
Cada escolha de “” na função e de um chute inicial diferente leva a uma das três soluções do sistema.

Passo 4

Fazendo as iterações (tipicamente bastam 8–12 passos) com chutes iniciais apropriados, obtemos numericamente:
  1. Usando o sinal “ +” em phi2 e chute l(x^(0),y^(0)r)=(1.4,0.2), converge para (x2,y2)approx(1.372,;0.241)
  2. Usando o sinal “ -” em phi2 e chute l(x^(0),y^(0)r)=(-0.1,0.5), converge para (x3,y3)approx(-0.187,;0.528)
  3. Ainda com sinal “ -” mas chute l(x^(0),y^(0)r)=(-0.6,-0.2), converge para (x1,y1)approx(-0.585,;-0.177)

Resposta

As três soluções aproximadas do sistema são:
(x1,y1)approx(-0.585,;-0.177), (x2,y2)approx(1.372,;0.241), (x3,y3)approx(-0.187,;0.528)

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