Resolva as E.D.O.'s e os P.V.I.'s a seguir:
6 y^prime prime-y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a E.D.O. linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
6,y'' - y' - y = 0
O método para resolver esse tipo de equação é assumir uma solução do tipo exponencial y(x)=e^r x e obter a equação característica correspondente.

Passo 2

Assumindo y(x)=e^r x, temos
y'(x)=r e^r x, y''(x)=r^2 e^r x
Substituindo na E.D.O. e dividindo por e^r xneq0, obtemos a equação característica
6r^2 - r - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação de segundo grau
6r^2 - r - 1 = 0
pelo discriminante,
De<a = (-1)^2 - 4cdot6cdot(-1) = 1 + 24 = 25,
temos
r = 1 pm raiz252cdot6 = 1 pm 512
Isso dá as raízes
r1 = 1 + 512 = 12, r2 = 1 - 512 = -13

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da E.D.O. é combinação linear das exponenciais
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1=tfrac12 e r2=-tfrac13, fica
y(x) = C1 e^tfracx2 + C2 e^-tfracx3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais (P.V.I.).

Resposta

y(x) = C1 e^tfracx2 + C2 e^-tfracx3

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