Encontre a solução geral da equação t^2 y^prime prime-3 t y^prime+4 y=t^2 ln t, t>0.
Sugestão: A equação homogênea associada é de Euler.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
t^2y''-3t,y'+4y = t^2ln t, t>0,
que é uma equação de Euler não-homogênea. Para resolver precisamos (i) achar a solução da homogênea associada usando a substituição y=t^r e (ii) obter uma solução particular, por exemplo via a mudança de variável u=ln t e y=t^2f(u).

Passo 2

Estudamos primeiro a homogênea
t^2y''-3t,y'+4y=0
Assumindo y=t^r obtemos a equação característica
r(r-1)-3r+4=0
isto é
r^2-4r+4=0Longrightarrow (r-2)^2=0,
logo r=2 dupla. Portanto
yh(t)=C1,t^2+C2,t^2ln t

Passo 3

Para a parte particular fazemos u=ln t e propomos
y(t)=t^2f(u)
Então
y' = tl(2f + f'r), y'' = 2f +3f' + f'',
onde f'=df/du e f''=d^2f/du^2.

Passo 4

Substituindo em t^2y''-3t,y'+4y resulta
t^2(2f+3f'+f'') -3tcdot t(2f+f') +4t^2f = t^2f''(u)
Como o lado direito é t^2ln t = t^2u, segue
f''(u)=u
Integrando,
f'(u)=tfracu^22 + A, f(u)=tfracu^36 + A,u + B
Os termos A,u+B geram soluções da homogênea, de modo que uma escolha de particular é
fp(u)=u^36 Longrightarrow yp(t)=t^2,(ln t)^36

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C1t^2+C2t^2ln t+t^2(ln t)^36

Resposta

boxedy(t)=C1t^2+C2t^2ln t+t^2(ln t)^36

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