Encontre a solução geral da equação
.
Sugestão: A equação homogênea associada é de Euler.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de
que é uma equação de Euler não-homogênea. Para resolver precisamos (i) achar a solução da homogênea associada usando a substituição
e (ii) obter uma solução particular, por exemplo via a mudança de variável
e
.
Passo 2
Estudamos primeiro a homogênea
Assumindo
obtemos a equação característica
isto é
logo
dupla. Portanto
Passo 3
Para a parte particular fazemos
e propomos
Então
onde
e
.
Passo 4
Substituindo em
resulta
Como o lado direito é
, segue
Integrando,
Os termos
geram soluções da homogênea, de modo que uma escolha de particular é
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: