Explique por que os seguintes argumentos estão ERRADOS:
lim x 0 sen(2 x)sen(5 x)=lim x 0 2 sen(x)5 sen(x)=2 / 5.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto 0sen(2x)sen(5x)
e o argumento errado utilizado foi substituir diretamente
sen(2x)=2,sen(x) e sen(5x)=5,sen(x), cancelar sen(x) e obter 2/5. Para entender por que isso falha, vamos lembrar as identidades trigonométricas exatas e o comportamento de sen(x) perto de zero.

Passo 2

A primeira falha está em assumir que
sen(2x)=2,sen(x)
Na verdade, a fórmula exata é
sen(2x)=2,sen(x)cos(x),
ou seja, ao escrever sen(2x)=2,sen(x) o argumento deixou de lado o fator cos(x), que não é igual a 1 para todo x.

Passo 3

De modo análogo, não existe identidade que diga
sen(5x)=5,sen(x)
A expansão correta de sen(5x) em função de sen(x) e cos(x) envolve um polinômio em cos(x); o fato de que, no limite xto0, esse polinômio vale 5, é apenas consequência de cos(x)to1 e de desenvolver em série, não de uma igualdade exata para todo x.

Passo 4

O procedimento correto usa o limite fundamental
limuto0sen(u)u=1
Tomando u=2x e v=5x, escrevemos
sen(2x)sen(5x) =sen(2x)2x,5xsen(5x)cdot2x5x longrightarrow1cdot1cdot25 =25
Aqui cada passo é justificado pelo fato de sen(u)approx u quando uto0, e não por identidades trigonométricas lineares falsas.

Resposta

O argumento falha porque usa identidades incorretas sen(2x)=2sen(x) e sen(5x)=5sen(x), ignorando fatores cos(x) e termos de ordem superior. A forma correta é recorrer ao limite limuto0sen(u)/u=1.

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