A substituição y=e^r x fornece a solução única y1=e^k x da equação linear
y^prime prime-2 k y^prime+k^2 y=0
Use redução da ordem para encontrar a segunda solução linearmente independente y2=x e^k x.

Passo 1

O enunciado pede uma segunda solução linearmente independente para a equação diferencial de segunda ordem homogênea
y'' - 2k,y' + k^2 y = 0
sabendo que uma solução é y1=e^kx. O conteúdo necessário é o método de redução da ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
onde identificamos
p(x) = -2k
Calculamos o fator
e^-integral p(x),dx = e^-integral(-2k),dx = e^2kx

Passo 3

Pela fórmula de redução da ordem, a segunda solução é
y2 = y1integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx
Aqui temos y1^2=e^2kx e e^-integral p(x),dx=e^2kx, logo o integrando é
e^2kxe^2kx = 1,
e
integral 1,dx = x

Passo 4

Substituindo na fórmula, obtemos
y2 = y1cdot x = x,e^kx,
que de fato é linearmente independente de y1.

Resposta

A segunda solução é
y2 = x,e^kx

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