Quatro vetores, A, B, C e D tem um ponto comum e são dados por;
A=2 a x-k a y-a z ; B=k a x+a y-2 a z ; C=a x+k a y+2 a z e D=k^2 a x+k a y+a z
Determinar o valor de k se:
Se A e B e C estiverem em um mesmo plano. (1,0 pt)

Passo 1

O enunciado dá três vetores com origem comum:
vec A = (2,,-k,,-1), vec B=(k,,1,,-2), vec C=(1,,k,,2),
e pede o valor de k para que vec A, vec B e vec C sejam coplanares. Para isso, vamos usar a condição de coplanaridade: o produto misto deve ser zero.

Passo 2

A condição de coplanaridade é
vec A cdot (vec B times vec C) = 0
Em coordenadas, isso equivale a calcular o determinante da matriz cujas linhas são as componentes de vec A, vec B e vec C.

Passo 3

Escrevemos o produto misto como determinante:
vec Acdot(vec Btimesvec C) = 2 & -k & -1 k & 1 & -2 1 & k & 2
Expandindo por cofactores na primeira linha:
=21 & -2 k & 2 -(-k)k & -2 1 & 2 +(-1)k & 1 1 & k
Calculando cada subdeterminante:
1 & -2 k & 2=1cdot2-(-2)cdot k=2+2k,
k & -2 1 & 2=kcdot2-(-2)cdot1=2k+2,
k & 1 1 & k=kcdot k-1cdot1=k^2-1
Substituindo:
2(2+2k)+k(2k+2)-1,(k^2-1)=0

Passo 4

Simplificando:
4+4k +2k^2+2k -k^2+1=0 Longrightarrow k^2+6k+5=0
Resolvendo a equação quadrática:
k^2+6k+5=(k+1)(k+5)=0 Longrightarrow k=-1;ou;k=-5

Resposta

k=-1 ou k=-5.

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