Encontre a solução geral da equação
Para
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 2y’ + \alpha y = 0 $ para $ \alpha > 1 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer as soluções gerais dessas equações usando o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + by’ + cy = 0 $, a equação característica é $ r^2 + br + c = 0 $. No nosso caso, $ b = 2 $ e $ c = \alpha $, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = \alpha $. Substituindo:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Como $ \alpha > 1 $, o que está dentro da raiz $ 1 - \alpha $ é negativo. Isso significa que as raízes serão números complexos. Podemos escrever $ \sqrt{1 - \alpha} = i\sqrt{\alpha - 1} $, onde $ i $ é a unidade imaginária.
Então, as raízes ficam:
Passo 5
Com raízes complexas da forma $ \lambda \pm i\mu $, a solução geral para a equação diferencial é:
No nosso caso, $ \lambda = -1 $ e $ \mu = \sqrt{\alpha - 1} $. Substituindo esses valores:
Resposta
A solução geral da equação é
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.