Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
Para alpha=1. (1,5)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2y' + alpha y = 0
Queremos encontrar a solução geral dessa equação para alpha = 1. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, substituímos alpha por 1 na equação:
y'' + 2y' + y = 0
Isso simplifica a nossa equação para:
y'' + 2y' + y = 0

Passo 3

Agora, para resolver essa equação diferencial, a gente utiliza a equação característica. Ela é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. A equação característica para a nossa equação é:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Nesse caso, a equação é um quadrado perfeito:
r^2 + 2r + 1 = 0
Isso nos dá uma raiz real dupla:
(r + 1)^2 = 0

Passo 5

Como temos uma raiz real dupla ($ r = -1 $ com multiplicidade 2), a solução geral da equação diferencial é:
r = -1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-x

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