Encontre a solução geral da equação
Para
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Queremos encontrar a solução geral dessa equação para
. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, substituímos
por 1 na equação:
Isso simplifica a nossa equação para:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação diferencial, a gente utiliza a equação característica. Ela é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. A equação característica para a nossa equação é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Nesse caso, a equação é um quadrado perfeito:
Isso nos dá uma raiz real dupla:
Passo 5
Como temos uma raiz real dupla ($ r = -1 $ com multiplicidade 2), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: