Utilize a integral tripla para determinar o volume das regiões E dadas abaixo.
E é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos y+z=5 e z=1

Passo 1

O enunciado nos dá a região E limitada pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=1 e y+z=5. Vamos calcular o volume de E usando integral tripla, projetando E no plano xy e obtendo limites de z em função de x e y.

Passo 2

O volume é
V=integral triplaEdV =integral duplax^2+y^2<=9l[integralz=1^5-ydzr],dA
e, integrando em z, vem
V=integral duplax^2+y^2<=9(5-y-1),dA =integral duplax^2+y^2<=9(4-y),dA

Passo 3

Passamos a coordenadas polares
x = r cos theta,; y = r sin theta,; dA = r , dr , dtheta,
ficando
V = integral0^2pi integral0^3 (4 - r sin theta) , r , dr , dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^3(4r-r^2sintheta),dr =l[2r^2-tfrac13r^3sinthetar]0^3 =18-9sintheta
Depois em theta:
V=integral0^2pi(18-9sintheta),dtheta =18cdot2pi-9underbracel[-costhetar]0^2pi0 =36pi

Resposta

36pi

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