a) Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
Para alpha>1, para alpha=1 e para alpha<1. (1,5)
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
Para alpha>1. (0,5)
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=t e^-t sen(raizalpha-1 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação homogênea
y''+2y'+alpha y=0
para três regimes de alpha, e em seguida, para alpha>1, indicar a forma adequada de um particular de
y''+2y'+alpha y = t,e^-tsinl(raizalpha-1,tr)
Vamos usar o método da equação característica para a parte (a) e o método de coeficientes indeterminados para a parte (b).

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à homogênea:
r^2 + 2r + alpha = 0
As raízes são
r = -2 pm raiz4 - 4alpha2 = -1 pm raiz1-alpha

Passo 3

Analisamos o discriminante 1-alpha:
  • Se alpha>1, então 1-alpha<0 e raiz1-alpha=iraizalpha-1.
  • Se alpha=1, então 1-alpha=0 e a raiz é dupla r=-1.
  • Se alpha<1, então 1-alpha>0 e as duas raízes são reais distintas r=-1pmraiz1-alpha.

Passo 4

Com base nisso, a solução geral yh é:
Para alpha>1:
yh(t) = e^-tl(C1cosl(raizalpha-1,tr)+C2sinl(raizalpha-1,tr)r)
Para alpha=1:
yh(t) = e^-tl(C1 + C2,tr)
Para alpha<1:
yh(t) = C1,e^(-1+raiz1-alpha)t + C2,e^(-1-raiz1-alpha)t

Passo 5

Para a parte (b) com alpha>1, a força é
t,e^-tsinl(raizalpha-1,tr)
Como e^-tsin(raizalpha-1,t) já está na solução homogênea (é ressonante) e a parte polinomial é de grau 1, multiplicamos o ansatz usual por um fator t.

Passo 6

O ansatz adequado para a solução particular yp é
yp(t) = e^-t,tl[(A,t + B)cosl(raizalpha-1,tr) + (C,t + D)sinl(raizalpha-1,tr)r],
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Resposta

a)
Para alpha>1:
y(t)=e^-tl(C1cos(raizalpha-1,t)+C2sin(raizalpha-1,t)r)
Para alpha=1:
y(t)=e^-t(C1+C2,t)
Para alpha<1:
y(t)=C1,e^(-1+raiz1-alpha)t+C2,e^(-1-raiz1-alpha)t
b)
Para alpha>1, um ansatz apropriado é
yp(t) = e^-t,tl[(A,t + B)cos(raizalpha-1,t) + (C,t + D)sin(raizalpha-1,t)r]

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