a) Encontre a solução geral da equação
Para
, para
e para
.
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
Para
.
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação homogênea
para três regimes de
, e em seguida, para
, indicar a forma adequada de um particular de
Vamos usar o método da equação característica para a parte (a) e o método de coeficientes indeterminados para a parte (b).
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à homogênea:
As raízes são
Passo 3
Analisamos o discriminante
:
- Se
, então e . - Se
, então e a raiz é dupla . - Se
, então e as duas raízes são reais distintas .
Passo 4
Com base nisso, a solução geral
é:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 5
Para a parte (b) com
, a força é
Como
já está na solução homogênea (é ressonante) e a parte polinomial é de grau 1, multiplicamos o ansatz usual por um fator
.
Passo 6
O ansatz adequado para a solução particular
é
onde
são constantes a determinar.
Resposta
a)
Para :
Para
Para
:
Para
:
b)
Para , um ansatz apropriado é
Para