Problema 4. Uma aplicação da equação de Laplace é no protótipo de um forno de microondas, para isto é possivel considerar um paralelepípedo de lados a , b , c; onde (a<b<c). Este objeto delimita um volume fechado, livre de cargas; com as condições de contorno:
V(0, y, z)=V(a, y, z)=0
V(x, 0, z)=V(x, b, z)=0
V(x, y, 0)=0 ; V(x, b, c)=V0

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace
nabla^2 V=0
no paralelepípedo
(x,y,z)in[0,a]times[0,b]times[0,c],
com as condições de contorno
V(0,y,z)=V(a,y,z)=V(x,0,z)=V(x,b,z)=V(x,y,0)=0, V(x,y,c)=V0
O método será Separação de Variáveis, encontrando autofunções em x, y e z, e depois ajustando os coeficientes pela expansão de Fourier da condição V(x,y,c)=V0.

Passo 2

Assumimos
V(x,y,z)=X(x),Y(y),Z(z)
Substituindo em nabla^2V=0 e dividindo por XYZ
X''X+Y''Y+Z''Z=0
Escolhemos constantes de separação negativas para x,y (problema com contornos nulos) e positiva para z:
X''X=-alpha^2, Y''Y=-beta^2, Z''Z=alpha^2+beta^2

Passo 3

As equações de X e Y são
X''+alpha^2X=0,;X(0)=X(a)=0, Y''+beta^2Y=0,;Y(0)=Y(b)=0
Disso vêm os modos
alphaj=jpia,;Xj(x)=sin!l(jpi xar), betak=kpib,;Yk(y)=sin!l(kpi ybr),
para j,k=1,2,dots.

Passo 4

A equação de Z é
Z''-(alphaj^2+betak^2),Z=0,
com Z(0)=0 e Z(c) determinado pela expansão de V(x,y,c). A solução geral é
Zjk(z)=Ajksinh!l(lambdajkzr), lambdajk=raizl(jpiar)^2+l(kpibr)^2
Logo o modo completo
Vjk(x,y,z) = Ajk,sinh!l(lambdajkzr) sin!l(jpi xar) sin!l(kpi ybr)

Passo 5

Para atender V(x,y,c)=V0 escrevemos
V0 =sumj=1^inftysumk=1^infty Ajksinh!l(lambdajkcr) sin!l(jpi xar) sin!l(kpi ybr)
Comparando com a série de Fourier bidimensional de constante, obtemos
Ajksinh(lambdajkc) =4abintegral0^a!!integral0^b V0, sin!l(tfracjpi xar) sin!l(tfrackpi ybr) ,dx,dy =4V0,(1-(-1)^j)(1-(-1)^k)j,k,pi^2
Então
Ajk =4V0,(1-(-1)^j)(1-(-1)^k)j,k,pi^2,sinh(lambdajkc)

Resposta

boxed% V(x,y,z) =sumj=1^inftysumk=1^infty 4V0,(1-(-1)^j)(1-(-1)^k)j,k,pi^2 , sinh!l(lambdajkzr)sinh!l(lambdajkcr) sin!l(jpi xar) sin!l(kpi ybr),
com
lambdajk=raizl(tfracjpiar)^2+l(tfrackpibr)^2.
Os termos não nulos ocorrem apenas para j,k ímpares, o que reduz a soma aos modos (2m+1,2n+1).

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