Problema 4. Uma aplicação da equação de Laplace é no protótipo de um forno de microondas, para isto é possivel considerar um paralelepípedo de lados
; onde
. Este objeto delimita um volume fechado, livre de cargas; com as condições de contorno:
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace
no paralelepípedo
,
com as condições de contorno
com as condições de contorno
O método será Separação de Variáveis, encontrando autofunções em
,
e
, e depois ajustando os coeficientes pela expansão de Fourier da condição
.
Passo 2
Assumimos
Substituindo em
e dividindo por
dá
Escolhemos constantes de separação negativas para
(problema com contornos nulos) e positiva para
:
Passo 3
As equações de
e
são
Disso vêm os modos
para
.
Passo 4
A equação de
é
com
e
determinado pela expansão de
. A solução geral é
Logo o modo completo
Passo 5
Para atender
escrevemos
Comparando com a série de Fourier bidimensional de constante, obtemos
Então
Resposta
com
.
Os termos não nulos ocorrem apenas para ímpares, o que reduz a soma aos modos
.
Os termos não nulos ocorrem apenas para