Exercs. 7-20: Ache a derivada direcional de
em
na direção indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2} y - y^{3} $ no ponto $ P(1, -2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = \frac{1}{2}(-\mathbf{i} + \sqrt{3} \mathbf{j}) $. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e usar a definição de derivada direcional que envolve o gradiente da função e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto $ P(1, -2) $.
Para $ f_{x}(1, -2) $:
Para $ f_{y}(1, -2) $:
Passo 4
O gradiente da função $ f $ no ponto $ P(1, -2) $ é dado por:
Passo 5
Vamos verificar se o vetor $ \mathbf{u} $ é um vetor unitário. Um vetor unitário tem norma igual a 1. A norma de $ \mathbf{u} $ é:
Então, $ \mathbf{u} $ já é unitário.
Passo 6
A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{u} $ é o produto escalar do gradiente de $ f $ pelo vetor $ \mathbf{u} $:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ em $ P(1, -2) $ na direção de $ \mathbf{u} $ é $ \displaystyle \frac{-15(1 + \sqrt{3})}{2} $.