Exercs. 7-20: Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada.
8 f(x, y)=x^3-3 x^2 y-y^3
P(1,-2), u=12(-i+raiz3 j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2} y - y^{3} $ no ponto $ P(1, -2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = \frac{1}{2}(-\mathbf{i} + \sqrt{3} \mathbf{j}) $. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e usar a definição de derivada direcional que envolve o gradiente da função e o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto $ P(1, -2) $.
Para $ f_{x}(1, -2) $:
P(1, -2)
Para $ f_{y}(1, -2) $:
fx(1, -2)

Passo 4

O gradiente da função $ f $ no ponto $ P(1, -2) $ é dado por:
f

Passo 5

Vamos verificar se o vetor $ \mathbf{u} $ é um vetor unitário. Um vetor unitário tem norma igual a 1. A norma de $ \mathbf{u} $ é:
u
Então, $ \mathbf{u} $ já é unitário.

Passo 6

A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{u} $ é o produto escalar do gradiente de $ f $ pelo vetor $ \mathbf{u} $:
f
u

Resposta

A derivada direcional de $ f $ em $ P(1, -2) $ na direção de $ \mathbf{u} $ é $ \displaystyle \frac{-15(1 + \sqrt{3})}{2} $.

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