Exercs. 7-20: Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada.
f(x, y)=x^2 ln y
P(5,1) a=-i+4 j

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função f(x,y)=x^2ln y e queremos a derivada direcional no ponto P=(5,1) na direção do vetor a=-i+4j. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor cu componentes são as derivadas parciais de f:
nabla f(x,y)=gl(partial fpartial x,partial fpartial ygr).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x=2xln y, partial fpartial y=x^2y

Passo 4

Avaliando em P=(5,1): como ln1=0, temos
partial fpartial x(5,1)=2cdot5cdot0=0, partial fpartial y(5,1)=5^21=25
Logo nabla f(5,1)=(0,25).

Passo 5

Para obter a derivada direcional, precisamos do versor (vetor unitário) na direção de a=(-1,4). Primeiro, a magnitude de a é:
|a|=raiz(-1)^2+4^2=raiz17
Então o versor é u=l(-1/raiz17,4/raiz17r).

Passo 6

A derivada direcional de f em P na direção de u é o produto escalar
Duf(5,1)=nabla f(5,1)cdotu=(0,25)cdotl(-tfrac1raiz17,tfrac4raiz17r)
Fazendo o produto escalar, obtemos 0cdot(-1/raiz17)+25cdot(4/raiz17)=100/raiz17

Resposta

100raiz17

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