Encontre a solução geral da equação
y^prime(t)+1t y(t)=t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação:
y^prime(t) + 1t y(t) = t^2
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Aqui, temos:
  • $ P(t) = \frac{1}{t} $
  • $ Q(t) = t^{2} $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Vamos calcular:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Então,
integral P(t) , dt = integral 1t , dt = ln |t|

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) = t $:
mu(t) = t
Simplificando:
t cdot y^prime(t) + t cdot 1t y(t) = t cdot t^2

Passo 5

Observamos que a esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y(t) $:
mu(t) y(t)
Portanto, temos:
ddt [t y(t)] = t y^prime(t) + y(t)

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Isso resulta em:
integral ddt [t y(t)] , dt = integral t^3 , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos $ y(t) $ dividindo ambos os lados por $ t $:
y(t)
Simplificando:
t

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = t^34 + Ct
onde $ C $ é uma constante qualquer.

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