Encontre a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão:
Aqui, temos:
- $ P(t) = \frac{1}{t} $
- $ Q(t) = t^{2} $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Vamos calcular:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) = t $:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que a esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y(t) $:
Portanto, temos:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos $ y(t) $ dividindo ambos os lados por $ t $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é
onde $ C $ é uma constante qualquer.