Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+4 y^prime+4 y=t^-2 e^-2 t, t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
y'' + 4 y' + 4 y = t^-2 e^-2 t, t > 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Vamos precisar usar conceitos de equações homogêneas, equações características e método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 4 y' + 4 y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo r^2 + 4 r + 4 = 0 por :

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^2 + 4 r + 4 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde r = -4 pm raiz16 - 162 = -4 pm 02 = -2 , e :
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla yh(t) = (C1 + C2 t) e^-2 t , a soluç��o geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular y'' + 4 y' + 4 y = t^-2 e^-2 t para a equação completa:
Como o lado direito da equação é , e já faz parte da solução homogênea, precisamos usar o método da Variação de Parâmetros para evitar a duplicação.

Passo 6

Para aplicar a Variação de Parâmetros, assumimos que as constantes yp(t) = u1(t) e^-2 t + u2(t) t e^-2 t e na solução homogênea são funções de :
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp' = u1' e^-2 t + u2' t e^-2 t + u2 e^-2 t + u2 t (-2 e^-2 t) :
Primeira derivada:
yp' = e^-2 t (u1' + u2' t + u2 - 2 u2 t)
Simplificando:
u1' e^-2 t + u2' t e^-2 t = 0
Segunda derivada:
Após simplificação, obtemos uma expressão complexa, mas para facilitar, usamos as condições de Variação de Parâmetros:
u1' (-2 e^-2 t) + u2' (-2 t e^-2 t) + restante = t^-2 e^-2 t
e

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações para u1' + u2' t = 0 e -2 u1' - 2 t u2' = t^-2 :
Das condições:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 9

Multiplicamos a primeira equação por 2:
2 u1' + 2 t u2' = 0
Agora, somamos com a segunda equação:
(2 u1' + 2 t u2') + (-2 u1' - 2 t u2') = 0 + t^-2
Isso simplifica para:
0 = t^-2
Houve um erro aqui. Vamos revisar nosso método.

Passo 10

Na verdade, devido à complexidade do termo yp(t) = t^k e^-2 t , o método da Variação de Parâmetros não é o mais adequado aqui. Em vez disso, vamos tentar assumir uma solução particular da forma:
E determinar o valor de que fará a solução funcionar.

Passo 11

Substituímos y'' + 4 y' + 4 y = t^-2 e^-2 t na equação diferencial:
yp' = k t^k-1 e^-2 t - 2 t^k e^-2 t
Calculamos as derivadas de yp'' = k (k - 1) t^k-2 e^-2 t - 4 k t^k-1 e^-2 t + 4 t^k e^-2 t :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 12

Substituímos k (k - 1) t^k-2 e^-2 t - 4 k t^k-1 e^-2 t + 4 t^k e^-2 t + 4 [k t^k-1 e^-2 t - 2 t^k e^-2 t] + 4 t^k e^-2 t = t^-2 e^-2 t , k (k - 1) t^k-2 e^-2 t = t^-2 e^-2 t e na equação original e igualamos aos termos de :
Simplificando:

Passo 13

Comparando os expoentes e coeficientes, temos:
k (k - 1) = 1
Resolvendo a equação quadrática:
k^2 - k - 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
k = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Portanto, temos duas soluções para k = 1 + raiz52 e k = 1 - raiz52 :

Passo 14

Assim, a solução particular é:
yp(t) = C3 t^1 + raiz52 e^-2 t + C4 t^1 - raiz52 e^-2 t
Onde e são constantes.

Passo 15

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^-2 t + C3 t^1 + raiz52 e^-2 t + C4 t^1 - raiz52 e^-2 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = ( C1 + C2 t ) e^-2 t + C3 t^1 + raiz52 e^-2 t + C4 t^1 - raiz52 e^-2 t
Onde , , e são constantes arbitrárias.

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