Encontre a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Vamos precisar usar conceitos de equações homogêneas, equações características e método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde
,
e
:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a soluç��o geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito da equação é
, e
já faz parte da solução homogênea, precisamos usar o método da Variação de Parâmetros para evitar a duplicação.
Passo 6
Para aplicar a Variação de Parâmetros, assumimos que as constantes
e
na solução homogênea são funções de
:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Após simplificação, obtemos uma expressão complexa, mas para facilitar, usamos as condições de Variação de Parâmetros:
e
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações para
e
:
Das condições:
Podemos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 9
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Agora, somamos com a segunda equação:
Isso simplifica para:
Houve um erro aqui. Vamos revisar nosso método.
Passo 10
Na verdade, devido à complexidade do termo
, o método da Variação de Parâmetros não é o mais adequado aqui. Em vez disso, vamos tentar assumir uma solução particular da forma:
E determinar o valor de
que fará a solução funcionar.
Passo 11
Substituímos
na equação diferencial:
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 12
Substituímos
,
e
na equação original e igualamos aos termos de
:
Simplificando:
Passo 13
Comparando os expoentes e coeficientes, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções para
:
Passo 14
Assim, a solução particular é:
Onde
e
são constantes.
Passo 15
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.