Encontre a solução geral das equações abaixo:
a)
b)
Discuta a interpretação física destas equações e suas soluções, assumindo que elas são equações de movimento de uma partícula.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de duas EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, que representam equações de movimento de uma partícula. O método padrão é assumir a solução do tipo
, obter a equação característica em
e analisar as raízes para construir a solução geral. Em seguida, interpretamos fisicamente cada termo (força elástica, amortecimento, potencial estável ou instável).
Passo 2
Para a equação
assumimos
. Substituindo, vem
As raízes são
Como
, temos duas raízes reais distintas, uma positiva e outra negativa.
Passo 3
A solução geral da parte (a) é
Fisicamente, o termo
é uma força de potencial repulsivo (equilíbrio instável em
) e
é amortecimento viscoso. O modo associado à raiz negativa decai, mas o modo associado à raiz positiva cresce exponencialmente: o equilíbrio é instável mesmo com amortecimento.
Passo 4
Para a equação
o mesmo ansatz leva à característica
cujas raízes são
Passo 5
Há três casos em (b):
. Se
: duas raízes reais e positivas, solução não oscilatória e diverge exponencialmente em dois modos.
. Se
: raiz dupla positiva, crescimento crítico
.
. Se
: raízes complexas com parte real
, solução
onde
. Em todos os casos a parte real é positiva, logo há amplificação de amplitude (instabilidade) e, se complexo, são oscilações crescentes.
Resposta
(a)
O termo [-kx) produz um potencial instável e o amortecimento não impede o crescimento exponencial de um modo.
(b)
O termo (-b\dot x] representa amortecimento negativo (injeção de energia), tornando o movimento sempre divergente (instável), com ou sem oscilações.]