Encontre a solução geral das equações abaixo:
a) m \ddot{x}+b \dot{x}-k x=0
b) m \ddot{x}-b \dot{x}+k x=0
Discuta a interpretação física destas equações e suas soluções, assumindo que elas são equações de movimento de uma partícula.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de duas EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, que representam equações de movimento de uma partícula. O método padrão é assumir a solução do tipo x(t)=e^{r t}, obter a equação característica em r e analisar as raízes para construir a solução geral. Em seguida, interpretamos fisicamente cada termo (força elástica, amortecimento, potencial estável ou instável).

Passo 2

Para a equação
m\ddot{x}+b\dot{x}-k x=0
assumimos x(t)=e^{r t}. Substituindo, vem
m\,r^2 + b\,r - k = 0.
As raízes são
r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4\,m\,k}}{2\,m}.
Como b^2+4mk>0, temos duas raízes reais distintas, uma positiva e outra negativa.

Passo 3

A solução geral da parte (a) é
x(t) = C_1\,\exp\!\Bigl(\frac{-b + \sqrt{b^2+4mk}}{2m}\,t\Bigr) + C_2\,\exp\!\Bigl(\frac{-b - \sqrt{b^2+4mk}}{2m}\,t\Bigr).
Fisicamente, o termo -k x é uma força de potencial repulsivo (equilíbrio instável em x=0) e +b\dot x é amortecimento viscoso. O modo associado à raiz negativa decai, mas o modo associado à raiz positiva cresce exponencialmente: o equilíbrio é instável mesmo com amortecimento.

Passo 4

Para a equação
m\ddot{x}-b\dot{x}+k x=0
o mesmo ansatz leva à característica
m\,r^2 - b\,r + k = 0,
cujas raízes são
r_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4\,m\,k}}{2\,m}.

Passo 5

Há três casos em (b):
1. Se b^2 > 4mk: duas raízes reais e positivas, solução não oscilatória e diverge exponencialmente em dois modos.
2. Se b^2 = 4mk: raiz dupla positiva, crescimento crítico x(t)=(C_1 + C_2\,t)e^{(b/2m)t}.
3. Se b^2 < 4mk: raízes complexas com parte real b/(2m)>0, solução
x(t)=e^{\frac{b}{2m}t}\Bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\Bigr),
onde \omega=\frac{\sqrt{4mk - b^2}}{2m}. Em todos os casos a parte real é positiva, logo há amplificação de amplitude (instabilidade) e, se complexo, são oscilações crescentes.

Resposta

(a)
x(t) = C_1\,\exp\!\left(\frac{-b + \sqrt{b^2+4mk}}{2m}\,t\right) + C_2\,\exp\!\left(\frac{-b - \sqrt{b^2+4mk}}{2m}\,t\right).
O termo [-kx) produz um potencial instável e o amortecimento não impede o crescimento exponencial de um modo.
(b)
x(t)= \begin{cases} C_1\,e^{\frac{b+\sqrt{b^2-4mk}}{2m}t}+C_2\,e^{\frac{b-\sqrt{b^2-4mk}}{2m}t}, & b^2>4mk,\\[6pt] (C_1 + C_2\,t)e^{\frac{b}{2m}t}, & b^2=4mk,\\[6pt] e^{\frac{b}{2m}t}\bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\bigr), & b^2<4mk,\;\omega=\tfrac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}. \end{cases}
O termo (-b\dot x] representa amortecimento negativo (injeção de energia), tornando o movimento sempre divergente (instável), com ou sem oscilações.]

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