Um oscilador harmônico criticamente amortecido com massa m e constante de mola k, está sujeito a uma força F_{0} \cos (\omega t). Se, em t=0, x=x_{0} e v=v_{0}, encontre x(t).

Passo 1

O problema descreve um oscilador harmônico forçado e criticamente amortecido. A equação de movimento é
m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = F_{0}\cos(\omega t)
e, por condição de amortecimento crítico,
b = 2\sqrt{m\,k}\equiv 2m\,\omega_{0},\quad\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Vamos primeiro obter a solução geral (homogênea + particular) e depois aplicar x(0)=x_{0}, \dot x(0)=v_{0}.

Passo 2

A solução homogênea, no caso crítico, é da forma
\;x_{h}(t) = \bigl(C_{1}+C_{2}\,t\bigr)e^{-\omega_{0}t}.

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
\;x_{p}(t) = A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
Substituindo em m\ddot x+b\dot x+kx=F_{0}\cos(\omega t) e agrupando termos em \cos(\omega t) e \sin(\omega t), obtemos o sistema
\begin{cases} (k - m\omega^{2})\,A + b\,\omega\,B = F_{0},\\\ (k - m\omega^{2})\,B - b\,\omega\,A = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação segue
B = \frac{b\,\omega}{k - m\omega^{2}}\,A
e inserindo na primeira achamos
A = \frac{F_{0}\,(k - m\omega^{2})}{(k - m\omega^{2})^{2} + b^{2}\,\omega^{2}},\quad B = \frac{b\,\omega\,F_{0}}{(k - m\omega^{2})^{2} + b^{2}\,\omega^{2}}.
Defina o denominador comum
D = (k - m\omega^{2})^{2} + b^{2}\,\omega^{2}.

Passo 5

A solução geral é
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t) = \bigl(C_{1}+C_{2}\,t\bigr)e^{-\omega_{0}t} + A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
x(0)=C_{1}+A = x_{0} \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = x_{0}-A.
Derivando e avaliando em t=0:
\dot x(t)=\bigl(C_{2}-\omega_{0}(C_{1}+C_{2}t)\bigr)e^{-\omega_{0}t} -A\,\omega\sin(\omega t)+B\,\omega\cos(\omega t),
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\dot x(0)=C_{2}-\omega_{0}C_{1}+B\,\omega = v_{0} \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = v_{0} + \omega_{0}C_{1} - B\,\omega.

Passo 7

Substituindo C_{1} e C_{2} obtemos a solução final:
x(t) = e^{-\omega_{0}t}\Bigl[\bigl(x_{0}-A\bigr) +\bigl(v_{0}+\omega_{0}(x_{0}-A)-B\,\omega\bigr)\,t\Bigr] + A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
com
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad b=2m\,\omega_{0},\quad D=(k-m\omega^{2})^{2}+b^{2}\omega^{2},
A=\frac{F_{0}(k-m\omega^{2})}{D},\quad B=\frac{b\,\omega\,F_{0}}{D}.

Resposta

x(t) = e^{-\omega_{0}t}\Bigl[(x_{0}-A) +\bigl(v_{0}+\omega_{0}(x_{0}-A)-B\,\omega\bigr)\,t\Bigr] + A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad b=2m\,\omega_{0},\quad D=(k-m\omega^{2})^{2}+b^{2}\omega^{2},
A=\frac{F_{0}(k-m\omega^{2})}{D},\quad B=\frac{b\,\omega\,F_{0}}{D}.

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