Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime-2 y^prime=e^x sen x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 2y' = e^x sin x
Isso é uma equação linear de coeficientes constantes. Pela teoria, a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh vem da homogênea e yp é uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - 2y' = 0
escrevemos a equação característica
r^2 - 2r = 0 Longrightarrow r(r-2)=0 Longrightarrow r=0,,2
Logo
yh(x) = C1 + C2 e^2x

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é e^xsin x, tentamos
yp(x) = e^xl(Acos x + Bsin xr)
Derivando,
yp' = e^xl((A+B)cos x + (B-A)sin xr),
yp'' = e^xl(2Bcos x -2Asin xr)
Substituindo em y''-2y',
yp'' - 2yp' = e^xl(-2Acos x -2Bsin xr)

Passo 4

Igualando ao lado direito e^xsin x,
e^xl(-2Acos x -2Bsin xr) = e^x(0cdotcos x +1cdotsin x),
vem o sistema
-2A = 0, -2B = 1,
logo
A=0, B=-tfrac12
Assim
yp(x) = -tfrac12,e^xsin x

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2 e^2x - tfrac12,e^xsin x

Exercícios relacionados