O volume de um paralelepípedo reto retangular é 480 cm^3. Sabe-se que a soma das dimensões desse prisma é 24 cm e que a medida de uma de suas arestas é a média aritmética das medidas das outras duas arestas. Nestas condições, quanto mede a diagonal desse paralelepípedo?

Passo 1

Vamos chamar as arestas do paralelepípedo de a, b e c. O enunciado nos dá três informações principais:
1. O volume é
abc = 480
2. A soma das arestas é
a + b + c = 24
3. Uma aresta é a média aritmética das outras duas. Sem perda de generalidade, assumimos
c = a + b2
O objetivo é determinar a diagonal, dada por
d = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 2

Substituindo c = tfraca+b2 na soma a + b + c = 24, temos
a + b + a + b2 = 24 Longrightarrow 3(a + b)2 = 24 Longrightarrow a + b = 16
Logo
c = a + b2 = 162 = 8

Passo 3

Usando o volume abc=480 e o valor de c, obtemos
ab cdot 8 = 480 Longrightarrow ab = 4808 = 60

Passo 4

As variáveis a e b são raízes do polinômio
x^2 - (a+b),x + ab = 0 Longrightarrow x^2 - 16x + 60 = 0
O discriminante é
De<a = 16^2 - 4cdot60 = 256 - 240 = 16,
portanto
a,b = 16 pm raiz162 = 16 pm 42,
isto é, a,b = 10,6.

Passo 5

Agora calculamos a diagonal
d = raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz10^2 + 6^2 + 8^2 = raiz100 + 36 + 64 = raiz200 = 10raiz2

Resposta

A diagonal do paralelepípedo mede 10raiz2 cm.

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