Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos separar em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A característica é
cuja solução são as raízes
Como são reais e distintos, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
do tipo
, observamos que
já aparece na homogênea (raiz simples
). Então usamos o palpite
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Devemos ter
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma das partes homogênea e particular: