Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime-7 y^prime+10 y=8 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 7y' + 10y = 8e^2x
Para resolver, vamos separar em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 7y' + 10y = 0
A característica é
r^2 - 7r + 10 = 0,
cuja solução são as raízes
r = 5, r = 2
Como são reais e distintos, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^5x + C2 e^2x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do tipo 8e^2x, observamos que e^2x já aparece na homogênea (raiz simples r=2). Então usamos o palpite
yp(x) = A,x,e^2x
Calculamos as derivadas:
yp' = A(1 + 2x)e^2x, yp'' = A(4 + 4x)e^2x
Substituindo na equação diferencial:
yp'' - 7yp' + 10yp = A(4+4x)e^2x - 7A(1+2x)e^2x + 10A x e^2x = -3A,e^2x
Devemos ter
-3A,e^2x = 8,e^2x Longrightarrow A = -tfrac83
Logo
yp(x) = -tfrac83,x,e^2x

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^5x + C2 e^2x - tfrac83,x,e^2x

Resposta

boxedy(x) = C1e^5x + C2e^2x - 83,x,e^2x

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