Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é: (i) encontrar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e (ii) achar uma solução particular por coeficientes a determinar, já que o termo não homogêneo é uma combinação de seno e cosseno.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos
A equação característica é
cuja solução é
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é , vamos tentar um particular da forma
onde e são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
Substituindo em obtemos
Isto deve igualar , então formamos o sistema
Da primeira equação vem (A=-8B]. Substituindo na segunda:
e então
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular: