Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime-4 y^prime+3 y=3 sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 3sen(2x)
O conteúdo envolvido é: (i) encontrar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e (ii) achar uma solução particular por coeficientes a determinar, já que o termo não homogêneo é uma combinação de seno e cosseno.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos
y'' - 4y' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 -4r +3 = 0,
cuja solução é
r = 1, r = 3
Portanto a solução homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^3x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3sen(2x), vamos tentar um particular da forma
yp = Acos(2x) + Bsen(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de
Substituindo em obtemos
Isto deve igualar , então formamos o sistema
Da primeira equação vem (A=-8B]. Substituindo na segunda:

e então

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Passo 5

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^x + C2 e^3x + 2465cos(2x) - 365sen(2x)

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2 e^3x + 2465cos(2x) - 365sen(2x)

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