Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes \r
\r
O conteúdo principal é: (i) achar a solução da parte homogênea usando a equação característica; (ii) obter uma solução particular por coeficientes não determinados; (iii) somar as duas partes.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea \r
\r
a equação característica é \r
\r
cujas raízes são . Logo a solução homogênea é \r
Passo 3
Para a parte não homogênea RHS usamos soma de dois palpites: \r
— termo polinomial de grau 1, mas como já é raiz simples da característica, multiplicamos por , isto é \r
\r
— termo exponencial , mas também é raiz simples, então multiplicamos por , isto é \r
\r
Assim \r
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos na EDO. O resultado simplificado é \r
que deve igualar a
Passo 5
Igualando coeficientes de , constantes e de : \r
de onde
A=tfrac16, B=tfrac518, C=-tfrac32
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea yh com a particular yp.