Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime prime-5 y^prime prime+6 y^prime=2 x+3 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes \r
y^primeprimeprime-5y^primeprime+6y^prime=2x+3e^2x \r
O conteúdo principal é: (i) achar a solução da parte homogênea usando a equação característica; (ii) obter uma solução particular por coeficientes não determinados; (iii) somar as duas partes.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea \r
y^primeprimeprime-5y^primeprime+6y^prime=0 \r
a equação característica é \r
r^3-5r^2+6r = r(r-2)(r-3)=0, \r
cujas raízes são r=0,,2,,3. Logo a solução homogênea é \r
yh(x)=C1e^0cdot x+C2e^2x+C3e^3x=C1 + C2e^2x+C3e^3x

Passo 3

Para a parte não homogênea RHS =2x+3e^2x usamos soma de dois palpites: \r
— termo polinomial de grau 1, mas como r=0 já é raiz simples da característica, multiplicamos por x, isto é \r
yp1(x)=Ax^2+Bx; \r
— termo exponencial e^2x, mas r=2 também é raiz simples, então multiplicamos por x, isto é \r
yp2(x)=C x e^2x \r
Assim \r
yp(x)=Ax^2+Bx + Cx e^2x

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos na EDO. O resultado simplificado é \r
y'''-5y''+6y' =12Ax+6B-10A ;-;2C,e^2x,
que deve igualar a
2x ;+;3e^2x

Passo 5

Igualando coeficientes de x, constantes e de e^2x: \r
12A = 2, 6B-10A = 0, -2C = 3,
de onde
A=tfrac16, B=tfrac518, C=-tfrac32

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea yh com a particular yp.

Resposta

y(x)=C1 + C2e^2x + C3e^3x ;+;16x^2 + 518x ;-;32,x,e^2x

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