Encontre a solução geral para as equações diferenciais:
(b) x y^{\prime}+2 y=x^{3} \ln (x)

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
x\,y'(x)+2\,y(x)=x^{3}\ln(x).
O que o problema pede: encontrar a solução geral y(x) válida no domínio onde a equação faz sentido. Informações relevantes do enunciado:
\text{(i)}\; \text{há um termo } \ln(x),\\ \text{logo precisamos de } x>0;á
\text{(ii)}\; \text{a equação envolve } y' \text{ (derivada de primeira ordem) e é linear em } y.çãé
Não resolvo nada ainda — só deixei claro o que foi dado e o que precisamos achar.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como x\neq 0 (já que precisamos de \ln(x)), dividimos ambos os lados por x:
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=x^{2}\ln(x).
Aqui y'(x) é a derivada de y em relação a x. Agora a equação tem a forma
y'+P(x)y=Q(x)
com P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}\ln(x).

Passo 3

Vou aplicar o método do fator integrante. Explico a ideia rapidinho e de forma prática:
  • Para uma equação da forma \;y'+P(x)y=Q(x)\;, o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • A razão: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em uma derivada do produto (\mu(x)y(x))', porque
(\mu y)'=\mu y'+\mu P y.
Assim o problema se reduz a integrar um lado que é uma derivada exata.

Passo 4

Calcular o fator integrante para nossa equação. Temos P(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(2\ln|x|\big).
Como estamos em x>0 (por causa de \ln(x)), temos |x|=x e
\mu(x)=\exp\!\big(2\ln x\big)=x^{2}.
Portanto o fator integrante é \mu(x)=x^{2}.

Passo 5

Multiplicamos a equação na forma padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação
y'+\frac{2}{x}y=x^{2}\ln x
passa a ser
x^{2}y'+2x y = x^{4}\ln x.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y, porque
(x^{2}y)'=x^{2}y'+2x y.
Logo podemos escrever a equação de forma compacta:
\big(x^{2}y\big)'=x^{4}\ln x.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{2}y\big)' \,dx = \int x^{4}\ln x \,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x^{2}y. Introduzindo a constante de integração C, obtemos
x^{2}y(x)=\int x^{4}\ln x \,dx + C.

Passo 7

Calcular a integral \displaystyle \int x^{4}\ln x \,dx por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolho u=\ln x (que simplifica ao derivar) e dv=x^{4}\,dx. Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^{5}}{5}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{4}\ln x \,dx = \frac{x^{5}}{5}\ln x - \int \frac{x^{5}}{5}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
O integrando restante é \dfrac{1}{5}\int x^{4}\,dx=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{x^{5}}{5}=\dfrac{x^{5}}{25}. Portanto
\int x^{4}\ln x \,dx = \frac{x^{5}}{5}\ln x - \frac{x^{5}}{25}.

Passo 8

Voltando à igualdade do Passo 6, substituindo a integral encontrada:
x^{2}y(x)=\frac{x^{5}}{5}\ln x - \frac{x^{5}}{25} + C.
Dividindo ambos os lados por x^{2} (novamente válido para x>0), obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{x^{3}}{5}\ln x - \frac{x^{3}}{25} + \frac{C}{x^{2}}.
Observações finais rápidas: a solução está escrita para x>0 (domínio natural por causa de \ln x); C é a constante arbitrária real de integração.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{5}\ln x-\frac{x^{3}}{25}+\frac{C}{x^{2}},\quad C\in\mathbb{R},\; x>0

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