Encontre a solução geral para as equações diferenciais:
(b)
(b)
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que o problema pede: encontrar a solução geral
válida no domínio onde a equação faz sentido. Informações relevantes do enunciado:
Não resolvo nada ainda — só deixei claro o que foi dado e o que precisamos achar.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como
(já que precisamos de
), dividimos ambos os lados por
:
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Agora a equação tem a forma
com
e
.
Passo 3
Vou aplicar o método do fator integrante. Explico a ideia rapidinho e de forma prática:
- Para uma equação da forma
, o fator integrante é definido por
- A razão: multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em uma derivada do produto , porque
Assim o problema se reduz a integrar um lado que é uma derivada exata.
Passo 4
Calcular o fator integrante para nossa equação. Temos
, então
Como estamos em
(por causa de
), temos
e
Portanto o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicamos a equação na forma padrão por
. A equação
passa a ser
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Logo podemos escrever a equação de forma compacta:
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Introduzindo a constante de integração
, obtemos
Passo 7
Calcular a integral
por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
escolho
(que simplifica ao derivar) e
. Então
Aplicando a fórmula:
O integrando restante é
. Portanto
Passo 8
Voltando à igualdade do Passo 6, substituindo a integral encontrada:
Dividindo ambos os lados por
(novamente válido para
), obtemos a solução geral:
Observações finais rápidas: a solução está escrita para
(domínio natural por causa de
);
é a constante arbitrária real de integração.