Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - Temos uma equação diferencial linear não homogênea: o coeficiente de
é e o termo fonte (termo à direita) é . - A solução pedida é a solução geral (com constante arbitrária), já que nenhuma condição inicial foi dada.
Passo 2
Vamos escolher um método simples e seguro para essa equação: método do coeficiente integrante (fator integrante). Como alternativa interessante para aprender, também vou mostrar o método de solução homogênea + coeficientes indeterminados (que é muito usado quando o termo for uma exponencial, polinômio, seno/cosseno etc.). Ambos chegam na mesma resposta; eu explico os dois para você entender e poder escolher na prova.
Passo 3
Solução da equação homogênea associada. Primeiro resolvemos a homogênea
Explicação do método: essa é uma equação separável/integrável. Podemos escrever
Separamos as variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
onde
é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral da homogênea; escrevemos
Passo 4
Método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Observação importante (ressonância): o termo não homogêneo é
, que tem a mesma forma que a solução da homogênea
. Quando isso ocorre (o termo da direita é solução da homogênea), tentamos multiplicar por
para obter uma forma independente. Então tentamos uma solução particular da forma
onde
é constante a determinar.
Agora calculemos
usando a regra do produto. Primeiro note que
Derivando:
Ou escrito fatorando
:
Substituímos
e
na equação original:
Fatorando
:
Queremos que isso seja igual a
. Portanto
Logo a solução particular é
Passo 5
Combinação da solução geral. A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
Podemos fatorar
se preferir:
Passo 6
(Verificação curta e alternativa com fator integrante) Método do fator integrante: para reforçar a ideia, o fator integrante é
. Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
(pela regra do produto), então
Integrando:
Isolando
:
que é a mesma solução que obtivemos antes. Está coerente.
Passo 7
Dica rápida de prova: quando o termo fonte for da forma
e
já for solução da homogênea, multiplique a tentativa por
(ou por
se houver multiplicidade
). Isso evita erro de ressonância. Força aí — essa técnica resolve muita questão rapidinho!