Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) y^{\prime}+2 y=4 e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+2y=4e^{-2x}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Temos uma equação diferencial linear não homogênea: o coeficiente de y é 2 e o termo fonte (termo à direita) é 4e^{-2x}.
  • A solução pedida é a solução geral (com constante arbitrária), já que nenhuma condição inicial foi dada.

Passo 2

Vamos escolher um método simples e seguro para essa equação: método do coeficiente integrante (fator integrante). Como alternativa interessante para aprender, também vou mostrar o método de solução homogênea + coeficientes indeterminados (que é muito usado quando o termo for uma exponencial, polinômio, seno/cosseno etc.). Ambos chegam na mesma resposta; eu explico os dois para você entender e poder escolher na prova.

Passo 3

Solução da equação homogênea associada. Primeiro resolvemos a homogênea
y'+2y=0.
Explicação do método: essa é uma equação separável/integrável. Podemos escrever
\frac{dy}{dx}=-2y.
Separamos as variáveis e integramos:
\frac{dy}{y}=-2\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy}{y}=\int -2\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=-2x+C_1.
Exponentiando:
y=C e^{-2x},
onde C=e^{C_1} é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral da homogênea; escrevemos
y_h(x)=C e^{-2x}.

Passo 4

Método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Observação importante (ressonância): o termo não homogêneo é 4e^{-2x}, que tem a mesma forma que a solução da homogênea e^{-2x}. Quando isso ocorre (o termo da direita é solução da homogênea), tentamos multiplicar por x para obter uma forma independente. Então tentamos uma solução particular da forma
y_p(x)=A x e^{-2x},
onde A é constante a determinar.
Agora calculemos y_p' usando a regra do produto. Primeiro note que
y_p(x)=A x e^{-2x}.
Derivando:
y_p'(x)=A\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x e^{-2x}\bigr) = A\bigl(1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2)e^{-2x}\bigr) = A\bigl(e^{-2x}-2x e^{-2x}\bigr).
Ou escrito fatorando e^{-2x}:
y_p'(x)=A e^{-2x}(1-2x).
Substituímos y_p e y_p' na equação original:
y_p'+2y_p = A e^{-2x}(1-2x) + 2\bigl(A x e^{-2x}\bigr).
Fatorando A e^{-2x}:
y_p'+2y_p = A e^{-2x}\bigl(1-2x + 2x\bigr) = A e^{-2x}\cdot 1 = A e^{-2x}.
Queremos que isso seja igual a 4 e^{-2x}. Portanto
A e^{-2x}=4 e^{-2x} \quad\Rightarrow\quad A=4.
Logo a solução particular é
y_p(x)=4x e^{-2x}.

Passo 5

Combinação da solução geral. A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C e^{-2x} + 4x e^{-2x}.
Podemos fatorar e^{-2x} se preferir:
y(x)=(4x + C)e^{-2x}.

Passo 6

(Verificação curta e alternativa com fator integrante) Método do fator integrante: para reforçar a ideia, o fator integrante é \mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}. Multiplicando a equação original por \mu obtemos
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{2x}y (pela regra do produto), então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=4.
Integrando:
e^{2x}y = 4x + C.
Isolando y:
y=(4x + C)e^{-2x},
que é a mesma solução que obtivemos antes. Está coerente.

Passo 7

Dica rápida de prova: quando o termo fonte for da forma P(x)e^{\lambda x} e e^{\lambda x} já for solução da homogênea, multiplique a tentativa por x (ou por x^m se houver multiplicidade m). Isso evita erro de ressonância. Força aí — essa técnica resolve muita questão rapidinho!

Resposta

y(x)=(4x+C)e^{-2x}

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